1,100 121 000 016 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,100 121 000 016 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,100 121 000 016 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,100 121 000 016 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,100 121 000 016 2 × 2 = 0 + 0,200 242 000 032 4;
  • 2) 0,200 242 000 032 4 × 2 = 0 + 0,400 484 000 064 8;
  • 3) 0,400 484 000 064 8 × 2 = 0 + 0,800 968 000 129 6;
  • 4) 0,800 968 000 129 6 × 2 = 1 + 0,601 936 000 259 2;
  • 5) 0,601 936 000 259 2 × 2 = 1 + 0,203 872 000 518 4;
  • 6) 0,203 872 000 518 4 × 2 = 0 + 0,407 744 001 036 8;
  • 7) 0,407 744 001 036 8 × 2 = 0 + 0,815 488 002 073 6;
  • 8) 0,815 488 002 073 6 × 2 = 1 + 0,630 976 004 147 2;
  • 9) 0,630 976 004 147 2 × 2 = 1 + 0,261 952 008 294 4;
  • 10) 0,261 952 008 294 4 × 2 = 0 + 0,523 904 016 588 8;
  • 11) 0,523 904 016 588 8 × 2 = 1 + 0,047 808 033 177 6;
  • 12) 0,047 808 033 177 6 × 2 = 0 + 0,095 616 066 355 2;
  • 13) 0,095 616 066 355 2 × 2 = 0 + 0,191 232 132 710 4;
  • 14) 0,191 232 132 710 4 × 2 = 0 + 0,382 464 265 420 8;
  • 15) 0,382 464 265 420 8 × 2 = 0 + 0,764 928 530 841 6;
  • 16) 0,764 928 530 841 6 × 2 = 1 + 0,529 857 061 683 2;
  • 17) 0,529 857 061 683 2 × 2 = 1 + 0,059 714 123 366 4;
  • 18) 0,059 714 123 366 4 × 2 = 0 + 0,119 428 246 732 8;
  • 19) 0,119 428 246 732 8 × 2 = 0 + 0,238 856 493 465 6;
  • 20) 0,238 856 493 465 6 × 2 = 0 + 0,477 712 986 931 2;
  • 21) 0,477 712 986 931 2 × 2 = 0 + 0,955 425 973 862 4;
  • 22) 0,955 425 973 862 4 × 2 = 1 + 0,910 851 947 724 8;
  • 23) 0,910 851 947 724 8 × 2 = 1 + 0,821 703 895 449 6;
  • 24) 0,821 703 895 449 6 × 2 = 1 + 0,643 407 790 899 2;
  • 25) 0,643 407 790 899 2 × 2 = 1 + 0,286 815 581 798 4;
  • 26) 0,286 815 581 798 4 × 2 = 0 + 0,573 631 163 596 8;
  • 27) 0,573 631 163 596 8 × 2 = 1 + 0,147 262 327 193 6;
  • 28) 0,147 262 327 193 6 × 2 = 0 + 0,294 524 654 387 2;
  • 29) 0,294 524 654 387 2 × 2 = 0 + 0,589 049 308 774 4;
  • 30) 0,589 049 308 774 4 × 2 = 1 + 0,178 098 617 548 8;
  • 31) 0,178 098 617 548 8 × 2 = 0 + 0,356 197 235 097 6;
  • 32) 0,356 197 235 097 6 × 2 = 0 + 0,712 394 470 195 2;
  • 33) 0,712 394 470 195 2 × 2 = 1 + 0,424 788 940 390 4;
  • 34) 0,424 788 940 390 4 × 2 = 0 + 0,849 577 880 780 8;
  • 35) 0,849 577 880 780 8 × 2 = 1 + 0,699 155 761 561 6;
  • 36) 0,699 155 761 561 6 × 2 = 1 + 0,398 311 523 123 2;
  • 37) 0,398 311 523 123 2 × 2 = 0 + 0,796 623 046 246 4;
  • 38) 0,796 623 046 246 4 × 2 = 1 + 0,593 246 092 492 8;
  • 39) 0,593 246 092 492 8 × 2 = 1 + 0,186 492 184 985 6;
  • 40) 0,186 492 184 985 6 × 2 = 0 + 0,372 984 369 971 2;
  • 41) 0,372 984 369 971 2 × 2 = 0 + 0,745 968 739 942 4;
  • 42) 0,745 968 739 942 4 × 2 = 1 + 0,491 937 479 884 8;
  • 43) 0,491 937 479 884 8 × 2 = 0 + 0,983 874 959 769 6;
  • 44) 0,983 874 959 769 6 × 2 = 1 + 0,967 749 919 539 2;
  • 45) 0,967 749 919 539 2 × 2 = 1 + 0,935 499 839 078 4;
  • 46) 0,935 499 839 078 4 × 2 = 1 + 0,870 999 678 156 8;
  • 47) 0,870 999 678 156 8 × 2 = 1 + 0,741 999 356 313 6;
  • 48) 0,741 999 356 313 6 × 2 = 1 + 0,483 998 712 627 2;
  • 49) 0,483 998 712 627 2 × 2 = 0 + 0,967 997 425 254 4;
  • 50) 0,967 997 425 254 4 × 2 = 1 + 0,935 994 850 508 8;
  • 51) 0,935 994 850 508 8 × 2 = 1 + 0,871 989 701 017 6;
  • 52) 0,871 989 701 017 6 × 2 = 1 + 0,743 979 402 035 2;
  • 53) 0,743 979 402 035 2 × 2 = 1 + 0,487 958 804 070 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,100 121 000 016 2(10) =

0,0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,100 121 000 016 2(10) =

1,0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,100 121 000 016 2(10) =

1,0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1(2) =

1,0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111 1 =

0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111


Numărul zecimal 1,100 121 000 016 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0001 1001 1010 0001 1000 0111 1010 0100 1011 0110 0101 1111 0111

Distribuie

» Scriere 1,100 121 000 019 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100