1,111 111 111 111 111 111 110 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,111 111 111 111 111 111 110 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,111 111 111 111 111 111 110 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,111 111 111 111 111 111 110 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,111 111 111 111 111 111 110 1 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 220 2;
  • 2) 0,222 222 222 222 222 222 220 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 440 4;
  • 3) 0,444 444 444 444 444 444 440 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 880 8;
  • 4) 0,888 888 888 888 888 888 880 8 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 761 6;
  • 5) 0,777 777 777 777 777 777 761 6 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 523 2;
  • 6) 0,555 555 555 555 555 555 523 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 046 4;
  • 7) 0,111 111 111 111 111 111 046 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 092 8;
  • 8) 0,222 222 222 222 222 222 092 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 185 6;
  • 9) 0,444 444 444 444 444 444 185 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 371 2;
  • 10) 0,888 888 888 888 888 888 371 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 776 742 4;
  • 11) 0,777 777 777 777 777 776 742 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 553 484 8;
  • 12) 0,555 555 555 555 555 553 484 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 106 969 6;
  • 13) 0,111 111 111 111 111 106 969 6 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 213 939 2;
  • 14) 0,222 222 222 222 222 213 939 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 427 878 4;
  • 15) 0,444 444 444 444 444 427 878 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 855 756 8;
  • 16) 0,888 888 888 888 888 855 756 8 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 711 513 6;
  • 17) 0,777 777 777 777 777 711 513 6 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 423 027 2;
  • 18) 0,555 555 555 555 555 423 027 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 110 846 054 4;
  • 19) 0,111 111 111 111 110 846 054 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 221 692 108 8;
  • 20) 0,222 222 222 222 221 692 108 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 443 384 217 6;
  • 21) 0,444 444 444 444 443 384 217 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 886 768 435 2;
  • 22) 0,888 888 888 888 886 768 435 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 773 536 870 4;
  • 23) 0,777 777 777 777 773 536 870 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 547 073 740 8;
  • 24) 0,555 555 555 555 547 073 740 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 094 147 481 6;
  • 25) 0,111 111 111 111 094 147 481 6 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 188 294 963 2;
  • 26) 0,222 222 222 222 188 294 963 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 376 589 926 4;
  • 27) 0,444 444 444 444 376 589 926 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 753 179 852 8;
  • 28) 0,888 888 888 888 753 179 852 8 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 506 359 705 6;
  • 29) 0,777 777 777 777 506 359 705 6 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 012 719 411 2;
  • 30) 0,555 555 555 555 012 719 411 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 110 025 438 822 4;
  • 31) 0,111 111 111 110 025 438 822 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 220 050 877 644 8;
  • 32) 0,222 222 222 220 050 877 644 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 440 101 755 289 6;
  • 33) 0,444 444 444 440 101 755 289 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 880 203 510 579 2;
  • 34) 0,888 888 888 880 203 510 579 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 760 407 021 158 4;
  • 35) 0,777 777 777 760 407 021 158 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 520 814 042 316 8;
  • 36) 0,555 555 555 520 814 042 316 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 041 628 084 633 6;
  • 37) 0,111 111 111 041 628 084 633 6 × 2 = 0 + 0,222 222 222 083 256 169 267 2;
  • 38) 0,222 222 222 083 256 169 267 2 × 2 = 0 + 0,444 444 444 166 512 338 534 4;
  • 39) 0,444 444 444 166 512 338 534 4 × 2 = 0 + 0,888 888 888 333 024 677 068 8;
  • 40) 0,888 888 888 333 024 677 068 8 × 2 = 1 + 0,777 777 776 666 049 354 137 6;
  • 41) 0,777 777 776 666 049 354 137 6 × 2 = 1 + 0,555 555 553 332 098 708 275 2;
  • 42) 0,555 555 553 332 098 708 275 2 × 2 = 1 + 0,111 111 106 664 197 416 550 4;
  • 43) 0,111 111 106 664 197 416 550 4 × 2 = 0 + 0,222 222 213 328 394 833 100 8;
  • 44) 0,222 222 213 328 394 833 100 8 × 2 = 0 + 0,444 444 426 656 789 666 201 6;
  • 45) 0,444 444 426 656 789 666 201 6 × 2 = 0 + 0,888 888 853 313 579 332 403 2;
  • 46) 0,888 888 853 313 579 332 403 2 × 2 = 1 + 0,777 777 706 627 158 664 806 4;
  • 47) 0,777 777 706 627 158 664 806 4 × 2 = 1 + 0,555 555 413 254 317 329 612 8;
  • 48) 0,555 555 413 254 317 329 612 8 × 2 = 1 + 0,111 110 826 508 634 659 225 6;
  • 49) 0,111 110 826 508 634 659 225 6 × 2 = 0 + 0,222 221 653 017 269 318 451 2;
  • 50) 0,222 221 653 017 269 318 451 2 × 2 = 0 + 0,444 443 306 034 538 636 902 4;
  • 51) 0,444 443 306 034 538 636 902 4 × 2 = 0 + 0,888 886 612 069 077 273 804 8;
  • 52) 0,888 886 612 069 077 273 804 8 × 2 = 1 + 0,777 773 224 138 154 547 609 6;
  • 53) 0,777 773 224 138 154 547 609 6 × 2 = 1 + 0,555 546 448 276 309 095 219 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,111 111 111 111 111 111 110 1(10) =

0,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,111 111 111 111 111 111 110 1(10) =

1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,111 111 111 111 111 111 110 1(10) =

1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1(2) =

1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1 =

0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001


Numărul zecimal 1,111 111 111 111 111 111 110 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001

Distribuie

» Scriere 1,111 111 111 111 111 111 109 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100