1,123 412 341 234 123 412 341 232 92 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,123 412 341 234 123 412 341 232 92(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,123 412 341 234 123 412 341 232 92(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 412 341 234 123 412 341 232 92.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 412 341 234 123 412 341 232 92 × 2 = 0 + 0,246 824 682 468 246 824 682 465 84;
  • 2) 0,246 824 682 468 246 824 682 465 84 × 2 = 0 + 0,493 649 364 936 493 649 364 931 68;
  • 3) 0,493 649 364 936 493 649 364 931 68 × 2 = 0 + 0,987 298 729 872 987 298 729 863 36;
  • 4) 0,987 298 729 872 987 298 729 863 36 × 2 = 1 + 0,974 597 459 745 974 597 459 726 72;
  • 5) 0,974 597 459 745 974 597 459 726 72 × 2 = 1 + 0,949 194 919 491 949 194 919 453 44;
  • 6) 0,949 194 919 491 949 194 919 453 44 × 2 = 1 + 0,898 389 838 983 898 389 838 906 88;
  • 7) 0,898 389 838 983 898 389 838 906 88 × 2 = 1 + 0,796 779 677 967 796 779 677 813 76;
  • 8) 0,796 779 677 967 796 779 677 813 76 × 2 = 1 + 0,593 559 355 935 593 559 355 627 52;
  • 9) 0,593 559 355 935 593 559 355 627 52 × 2 = 1 + 0,187 118 711 871 187 118 711 255 04;
  • 10) 0,187 118 711 871 187 118 711 255 04 × 2 = 0 + 0,374 237 423 742 374 237 422 510 08;
  • 11) 0,374 237 423 742 374 237 422 510 08 × 2 = 0 + 0,748 474 847 484 748 474 845 020 16;
  • 12) 0,748 474 847 484 748 474 845 020 16 × 2 = 1 + 0,496 949 694 969 496 949 690 040 32;
  • 13) 0,496 949 694 969 496 949 690 040 32 × 2 = 0 + 0,993 899 389 938 993 899 380 080 64;
  • 14) 0,993 899 389 938 993 899 380 080 64 × 2 = 1 + 0,987 798 779 877 987 798 760 161 28;
  • 15) 0,987 798 779 877 987 798 760 161 28 × 2 = 1 + 0,975 597 559 755 975 597 520 322 56;
  • 16) 0,975 597 559 755 975 597 520 322 56 × 2 = 1 + 0,951 195 119 511 951 195 040 645 12;
  • 17) 0,951 195 119 511 951 195 040 645 12 × 2 = 1 + 0,902 390 239 023 902 390 081 290 24;
  • 18) 0,902 390 239 023 902 390 081 290 24 × 2 = 1 + 0,804 780 478 047 804 780 162 580 48;
  • 19) 0,804 780 478 047 804 780 162 580 48 × 2 = 1 + 0,609 560 956 095 609 560 325 160 96;
  • 20) 0,609 560 956 095 609 560 325 160 96 × 2 = 1 + 0,219 121 912 191 219 120 650 321 92;
  • 21) 0,219 121 912 191 219 120 650 321 92 × 2 = 0 + 0,438 243 824 382 438 241 300 643 84;
  • 22) 0,438 243 824 382 438 241 300 643 84 × 2 = 0 + 0,876 487 648 764 876 482 601 287 68;
  • 23) 0,876 487 648 764 876 482 601 287 68 × 2 = 1 + 0,752 975 297 529 752 965 202 575 36;
  • 24) 0,752 975 297 529 752 965 202 575 36 × 2 = 1 + 0,505 950 595 059 505 930 405 150 72;
  • 25) 0,505 950 595 059 505 930 405 150 72 × 2 = 1 + 0,011 901 190 119 011 860 810 301 44;
  • 26) 0,011 901 190 119 011 860 810 301 44 × 2 = 0 + 0,023 802 380 238 023 721 620 602 88;
  • 27) 0,023 802 380 238 023 721 620 602 88 × 2 = 0 + 0,047 604 760 476 047 443 241 205 76;
  • 28) 0,047 604 760 476 047 443 241 205 76 × 2 = 0 + 0,095 209 520 952 094 886 482 411 52;
  • 29) 0,095 209 520 952 094 886 482 411 52 × 2 = 0 + 0,190 419 041 904 189 772 964 823 04;
  • 30) 0,190 419 041 904 189 772 964 823 04 × 2 = 0 + 0,380 838 083 808 379 545 929 646 08;
  • 31) 0,380 838 083 808 379 545 929 646 08 × 2 = 0 + 0,761 676 167 616 759 091 859 292 16;
  • 32) 0,761 676 167 616 759 091 859 292 16 × 2 = 1 + 0,523 352 335 233 518 183 718 584 32;
  • 33) 0,523 352 335 233 518 183 718 584 32 × 2 = 1 + 0,046 704 670 467 036 367 437 168 64;
  • 34) 0,046 704 670 467 036 367 437 168 64 × 2 = 0 + 0,093 409 340 934 072 734 874 337 28;
  • 35) 0,093 409 340 934 072 734 874 337 28 × 2 = 0 + 0,186 818 681 868 145 469 748 674 56;
  • 36) 0,186 818 681 868 145 469 748 674 56 × 2 = 0 + 0,373 637 363 736 290 939 497 349 12;
  • 37) 0,373 637 363 736 290 939 497 349 12 × 2 = 0 + 0,747 274 727 472 581 878 994 698 24;
  • 38) 0,747 274 727 472 581 878 994 698 24 × 2 = 1 + 0,494 549 454 945 163 757 989 396 48;
  • 39) 0,494 549 454 945 163 757 989 396 48 × 2 = 0 + 0,989 098 909 890 327 515 978 792 96;
  • 40) 0,989 098 909 890 327 515 978 792 96 × 2 = 1 + 0,978 197 819 780 655 031 957 585 92;
  • 41) 0,978 197 819 780 655 031 957 585 92 × 2 = 1 + 0,956 395 639 561 310 063 915 171 84;
  • 42) 0,956 395 639 561 310 063 915 171 84 × 2 = 1 + 0,912 791 279 122 620 127 830 343 68;
  • 43) 0,912 791 279 122 620 127 830 343 68 × 2 = 1 + 0,825 582 558 245 240 255 660 687 36;
  • 44) 0,825 582 558 245 240 255 660 687 36 × 2 = 1 + 0,651 165 116 490 480 511 321 374 72;
  • 45) 0,651 165 116 490 480 511 321 374 72 × 2 = 1 + 0,302 330 232 980 961 022 642 749 44;
  • 46) 0,302 330 232 980 961 022 642 749 44 × 2 = 0 + 0,604 660 465 961 922 045 285 498 88;
  • 47) 0,604 660 465 961 922 045 285 498 88 × 2 = 1 + 0,209 320 931 923 844 090 570 997 76;
  • 48) 0,209 320 931 923 844 090 570 997 76 × 2 = 0 + 0,418 641 863 847 688 181 141 995 52;
  • 49) 0,418 641 863 847 688 181 141 995 52 × 2 = 0 + 0,837 283 727 695 376 362 283 991 04;
  • 50) 0,837 283 727 695 376 362 283 991 04 × 2 = 1 + 0,674 567 455 390 752 724 567 982 08;
  • 51) 0,674 567 455 390 752 724 567 982 08 × 2 = 1 + 0,349 134 910 781 505 449 135 964 16;
  • 52) 0,349 134 910 781 505 449 135 964 16 × 2 = 0 + 0,698 269 821 563 010 898 271 928 32;
  • 53) 0,698 269 821 563 010 898 271 928 32 × 2 = 1 + 0,396 539 643 126 021 796 543 856 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 412 341 234 123 412 341 232 92(10) =

0,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,123 412 341 234 123 412 341 232 92(10) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,123 412 341 234 123 412 341 232 92(10) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1 =

0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110


Numărul zecimal 1,123 412 341 234 123 412 341 232 92 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110

Distribuie

» Scriere 1,123 412 341 234 123 412 341 233 47 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100