1,234 567 890 123 456 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,234 567 890 123 456 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,234 567 890 123 456 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,234 567 890 123 456 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,234 567 890 123 456 79 × 2 = 0 + 0,469 135 780 246 913 58;
  • 2) 0,469 135 780 246 913 58 × 2 = 0 + 0,938 271 560 493 827 16;
  • 3) 0,938 271 560 493 827 16 × 2 = 1 + 0,876 543 120 987 654 32;
  • 4) 0,876 543 120 987 654 32 × 2 = 1 + 0,753 086 241 975 308 64;
  • 5) 0,753 086 241 975 308 64 × 2 = 1 + 0,506 172 483 950 617 28;
  • 6) 0,506 172 483 950 617 28 × 2 = 1 + 0,012 344 967 901 234 56;
  • 7) 0,012 344 967 901 234 56 × 2 = 0 + 0,024 689 935 802 469 12;
  • 8) 0,024 689 935 802 469 12 × 2 = 0 + 0,049 379 871 604 938 24;
  • 9) 0,049 379 871 604 938 24 × 2 = 0 + 0,098 759 743 209 876 48;
  • 10) 0,098 759 743 209 876 48 × 2 = 0 + 0,197 519 486 419 752 96;
  • 11) 0,197 519 486 419 752 96 × 2 = 0 + 0,395 038 972 839 505 92;
  • 12) 0,395 038 972 839 505 92 × 2 = 0 + 0,790 077 945 679 011 84;
  • 13) 0,790 077 945 679 011 84 × 2 = 1 + 0,580 155 891 358 023 68;
  • 14) 0,580 155 891 358 023 68 × 2 = 1 + 0,160 311 782 716 047 36;
  • 15) 0,160 311 782 716 047 36 × 2 = 0 + 0,320 623 565 432 094 72;
  • 16) 0,320 623 565 432 094 72 × 2 = 0 + 0,641 247 130 864 189 44;
  • 17) 0,641 247 130 864 189 44 × 2 = 1 + 0,282 494 261 728 378 88;
  • 18) 0,282 494 261 728 378 88 × 2 = 0 + 0,564 988 523 456 757 76;
  • 19) 0,564 988 523 456 757 76 × 2 = 1 + 0,129 977 046 913 515 52;
  • 20) 0,129 977 046 913 515 52 × 2 = 0 + 0,259 954 093 827 031 04;
  • 21) 0,259 954 093 827 031 04 × 2 = 0 + 0,519 908 187 654 062 08;
  • 22) 0,519 908 187 654 062 08 × 2 = 1 + 0,039 816 375 308 124 16;
  • 23) 0,039 816 375 308 124 16 × 2 = 0 + 0,079 632 750 616 248 32;
  • 24) 0,079 632 750 616 248 32 × 2 = 0 + 0,159 265 501 232 496 64;
  • 25) 0,159 265 501 232 496 64 × 2 = 0 + 0,318 531 002 464 993 28;
  • 26) 0,318 531 002 464 993 28 × 2 = 0 + 0,637 062 004 929 986 56;
  • 27) 0,637 062 004 929 986 56 × 2 = 1 + 0,274 124 009 859 973 12;
  • 28) 0,274 124 009 859 973 12 × 2 = 0 + 0,548 248 019 719 946 24;
  • 29) 0,548 248 019 719 946 24 × 2 = 1 + 0,096 496 039 439 892 48;
  • 30) 0,096 496 039 439 892 48 × 2 = 0 + 0,192 992 078 879 784 96;
  • 31) 0,192 992 078 879 784 96 × 2 = 0 + 0,385 984 157 759 569 92;
  • 32) 0,385 984 157 759 569 92 × 2 = 0 + 0,771 968 315 519 139 84;
  • 33) 0,771 968 315 519 139 84 × 2 = 1 + 0,543 936 631 038 279 68;
  • 34) 0,543 936 631 038 279 68 × 2 = 1 + 0,087 873 262 076 559 36;
  • 35) 0,087 873 262 076 559 36 × 2 = 0 + 0,175 746 524 153 118 72;
  • 36) 0,175 746 524 153 118 72 × 2 = 0 + 0,351 493 048 306 237 44;
  • 37) 0,351 493 048 306 237 44 × 2 = 0 + 0,702 986 096 612 474 88;
  • 38) 0,702 986 096 612 474 88 × 2 = 1 + 0,405 972 193 224 949 76;
  • 39) 0,405 972 193 224 949 76 × 2 = 0 + 0,811 944 386 449 899 52;
  • 40) 0,811 944 386 449 899 52 × 2 = 1 + 0,623 888 772 899 799 04;
  • 41) 0,623 888 772 899 799 04 × 2 = 1 + 0,247 777 545 799 598 08;
  • 42) 0,247 777 545 799 598 08 × 2 = 0 + 0,495 555 091 599 196 16;
  • 43) 0,495 555 091 599 196 16 × 2 = 0 + 0,991 110 183 198 392 32;
  • 44) 0,991 110 183 198 392 32 × 2 = 1 + 0,982 220 366 396 784 64;
  • 45) 0,982 220 366 396 784 64 × 2 = 1 + 0,964 440 732 793 569 28;
  • 46) 0,964 440 732 793 569 28 × 2 = 1 + 0,928 881 465 587 138 56;
  • 47) 0,928 881 465 587 138 56 × 2 = 1 + 0,857 762 931 174 277 12;
  • 48) 0,857 762 931 174 277 12 × 2 = 1 + 0,715 525 862 348 554 24;
  • 49) 0,715 525 862 348 554 24 × 2 = 1 + 0,431 051 724 697 108 48;
  • 50) 0,431 051 724 697 108 48 × 2 = 0 + 0,862 103 449 394 216 96;
  • 51) 0,862 103 449 394 216 96 × 2 = 1 + 0,724 206 898 788 433 92;
  • 52) 0,724 206 898 788 433 92 × 2 = 1 + 0,448 413 797 576 867 84;
  • 53) 0,448 413 797 576 867 84 × 2 = 0 + 0,896 827 595 153 735 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,234 567 890 123 456 79(10) =

0,0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,234 567 890 123 456 79(10) =

1,0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,234 567 890 123 456 79(10) =

1,0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0(2) =

1,0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011 0 =

0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011


Numărul zecimal 1,234 567 890 123 456 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0011 1100 0000 1100 1010 0100 0010 1000 1100 0101 1001 1111 1011

Distribuie

» Scriere 1,234 567 890 123 457 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100