1,301 029 995 663 981 195 213 720 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,301 029 995 663 981 195 213 720 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,301 029 995 663 981 195 213 720 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,301 029 995 663 981 195 213 720 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,301 029 995 663 981 195 213 720 6 × 2 = 0 + 0,602 059 991 327 962 390 427 441 2;
  • 2) 0,602 059 991 327 962 390 427 441 2 × 2 = 1 + 0,204 119 982 655 924 780 854 882 4;
  • 3) 0,204 119 982 655 924 780 854 882 4 × 2 = 0 + 0,408 239 965 311 849 561 709 764 8;
  • 4) 0,408 239 965 311 849 561 709 764 8 × 2 = 0 + 0,816 479 930 623 699 123 419 529 6;
  • 5) 0,816 479 930 623 699 123 419 529 6 × 2 = 1 + 0,632 959 861 247 398 246 839 059 2;
  • 6) 0,632 959 861 247 398 246 839 059 2 × 2 = 1 + 0,265 919 722 494 796 493 678 118 4;
  • 7) 0,265 919 722 494 796 493 678 118 4 × 2 = 0 + 0,531 839 444 989 592 987 356 236 8;
  • 8) 0,531 839 444 989 592 987 356 236 8 × 2 = 1 + 0,063 678 889 979 185 974 712 473 6;
  • 9) 0,063 678 889 979 185 974 712 473 6 × 2 = 0 + 0,127 357 779 958 371 949 424 947 2;
  • 10) 0,127 357 779 958 371 949 424 947 2 × 2 = 0 + 0,254 715 559 916 743 898 849 894 4;
  • 11) 0,254 715 559 916 743 898 849 894 4 × 2 = 0 + 0,509 431 119 833 487 797 699 788 8;
  • 12) 0,509 431 119 833 487 797 699 788 8 × 2 = 1 + 0,018 862 239 666 975 595 399 577 6;
  • 13) 0,018 862 239 666 975 595 399 577 6 × 2 = 0 + 0,037 724 479 333 951 190 799 155 2;
  • 14) 0,037 724 479 333 951 190 799 155 2 × 2 = 0 + 0,075 448 958 667 902 381 598 310 4;
  • 15) 0,075 448 958 667 902 381 598 310 4 × 2 = 0 + 0,150 897 917 335 804 763 196 620 8;
  • 16) 0,150 897 917 335 804 763 196 620 8 × 2 = 0 + 0,301 795 834 671 609 526 393 241 6;
  • 17) 0,301 795 834 671 609 526 393 241 6 × 2 = 0 + 0,603 591 669 343 219 052 786 483 2;
  • 18) 0,603 591 669 343 219 052 786 483 2 × 2 = 1 + 0,207 183 338 686 438 105 572 966 4;
  • 19) 0,207 183 338 686 438 105 572 966 4 × 2 = 0 + 0,414 366 677 372 876 211 145 932 8;
  • 20) 0,414 366 677 372 876 211 145 932 8 × 2 = 0 + 0,828 733 354 745 752 422 291 865 6;
  • 21) 0,828 733 354 745 752 422 291 865 6 × 2 = 1 + 0,657 466 709 491 504 844 583 731 2;
  • 22) 0,657 466 709 491 504 844 583 731 2 × 2 = 1 + 0,314 933 418 983 009 689 167 462 4;
  • 23) 0,314 933 418 983 009 689 167 462 4 × 2 = 0 + 0,629 866 837 966 019 378 334 924 8;
  • 24) 0,629 866 837 966 019 378 334 924 8 × 2 = 1 + 0,259 733 675 932 038 756 669 849 6;
  • 25) 0,259 733 675 932 038 756 669 849 6 × 2 = 0 + 0,519 467 351 864 077 513 339 699 2;
  • 26) 0,519 467 351 864 077 513 339 699 2 × 2 = 1 + 0,038 934 703 728 155 026 679 398 4;
  • 27) 0,038 934 703 728 155 026 679 398 4 × 2 = 0 + 0,077 869 407 456 310 053 358 796 8;
  • 28) 0,077 869 407 456 310 053 358 796 8 × 2 = 0 + 0,155 738 814 912 620 106 717 593 6;
  • 29) 0,155 738 814 912 620 106 717 593 6 × 2 = 0 + 0,311 477 629 825 240 213 435 187 2;
  • 30) 0,311 477 629 825 240 213 435 187 2 × 2 = 0 + 0,622 955 259 650 480 426 870 374 4;
  • 31) 0,622 955 259 650 480 426 870 374 4 × 2 = 1 + 0,245 910 519 300 960 853 740 748 8;
  • 32) 0,245 910 519 300 960 853 740 748 8 × 2 = 0 + 0,491 821 038 601 921 707 481 497 6;
  • 33) 0,491 821 038 601 921 707 481 497 6 × 2 = 0 + 0,983 642 077 203 843 414 962 995 2;
  • 34) 0,983 642 077 203 843 414 962 995 2 × 2 = 1 + 0,967 284 154 407 686 829 925 990 4;
  • 35) 0,967 284 154 407 686 829 925 990 4 × 2 = 1 + 0,934 568 308 815 373 659 851 980 8;
  • 36) 0,934 568 308 815 373 659 851 980 8 × 2 = 1 + 0,869 136 617 630 747 319 703 961 6;
  • 37) 0,869 136 617 630 747 319 703 961 6 × 2 = 1 + 0,738 273 235 261 494 639 407 923 2;
  • 38) 0,738 273 235 261 494 639 407 923 2 × 2 = 1 + 0,476 546 470 522 989 278 815 846 4;
  • 39) 0,476 546 470 522 989 278 815 846 4 × 2 = 0 + 0,953 092 941 045 978 557 631 692 8;
  • 40) 0,953 092 941 045 978 557 631 692 8 × 2 = 1 + 0,906 185 882 091 957 115 263 385 6;
  • 41) 0,906 185 882 091 957 115 263 385 6 × 2 = 1 + 0,812 371 764 183 914 230 526 771 2;
  • 42) 0,812 371 764 183 914 230 526 771 2 × 2 = 1 + 0,624 743 528 367 828 461 053 542 4;
  • 43) 0,624 743 528 367 828 461 053 542 4 × 2 = 1 + 0,249 487 056 735 656 922 107 084 8;
  • 44) 0,249 487 056 735 656 922 107 084 8 × 2 = 0 + 0,498 974 113 471 313 844 214 169 6;
  • 45) 0,498 974 113 471 313 844 214 169 6 × 2 = 0 + 0,997 948 226 942 627 688 428 339 2;
  • 46) 0,997 948 226 942 627 688 428 339 2 × 2 = 1 + 0,995 896 453 885 255 376 856 678 4;
  • 47) 0,995 896 453 885 255 376 856 678 4 × 2 = 1 + 0,991 792 907 770 510 753 713 356 8;
  • 48) 0,991 792 907 770 510 753 713 356 8 × 2 = 1 + 0,983 585 815 541 021 507 426 713 6;
  • 49) 0,983 585 815 541 021 507 426 713 6 × 2 = 1 + 0,967 171 631 082 043 014 853 427 2;
  • 50) 0,967 171 631 082 043 014 853 427 2 × 2 = 1 + 0,934 343 262 164 086 029 706 854 4;
  • 51) 0,934 343 262 164 086 029 706 854 4 × 2 = 1 + 0,868 686 524 328 172 059 413 708 8;
  • 52) 0,868 686 524 328 172 059 413 708 8 × 2 = 1 + 0,737 373 048 656 344 118 827 417 6;
  • 53) 0,737 373 048 656 344 118 827 417 6 × 2 = 1 + 0,474 746 097 312 688 237 654 835 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,301 029 995 663 981 195 213 720 6(10) =

0,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,301 029 995 663 981 195 213 720 6(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,301 029 995 663 981 195 213 720 6(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1(2) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111 1 =

0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111


Numărul zecimal 1,301 029 995 663 981 195 213 720 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 0111 1111

Distribuie

» Scriere 1,301 029 995 663 981 195 213 715 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100