1,301 029 995 663 981 289 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,301 029 995 663 981 289(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,301 029 995 663 981 289(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,301 029 995 663 981 289.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,301 029 995 663 981 289 × 2 = 0 + 0,602 059 991 327 962 578;
  • 2) 0,602 059 991 327 962 578 × 2 = 1 + 0,204 119 982 655 925 156;
  • 3) 0,204 119 982 655 925 156 × 2 = 0 + 0,408 239 965 311 850 312;
  • 4) 0,408 239 965 311 850 312 × 2 = 0 + 0,816 479 930 623 700 624;
  • 5) 0,816 479 930 623 700 624 × 2 = 1 + 0,632 959 861 247 401 248;
  • 6) 0,632 959 861 247 401 248 × 2 = 1 + 0,265 919 722 494 802 496;
  • 7) 0,265 919 722 494 802 496 × 2 = 0 + 0,531 839 444 989 604 992;
  • 8) 0,531 839 444 989 604 992 × 2 = 1 + 0,063 678 889 979 209 984;
  • 9) 0,063 678 889 979 209 984 × 2 = 0 + 0,127 357 779 958 419 968;
  • 10) 0,127 357 779 958 419 968 × 2 = 0 + 0,254 715 559 916 839 936;
  • 11) 0,254 715 559 916 839 936 × 2 = 0 + 0,509 431 119 833 679 872;
  • 12) 0,509 431 119 833 679 872 × 2 = 1 + 0,018 862 239 667 359 744;
  • 13) 0,018 862 239 667 359 744 × 2 = 0 + 0,037 724 479 334 719 488;
  • 14) 0,037 724 479 334 719 488 × 2 = 0 + 0,075 448 958 669 438 976;
  • 15) 0,075 448 958 669 438 976 × 2 = 0 + 0,150 897 917 338 877 952;
  • 16) 0,150 897 917 338 877 952 × 2 = 0 + 0,301 795 834 677 755 904;
  • 17) 0,301 795 834 677 755 904 × 2 = 0 + 0,603 591 669 355 511 808;
  • 18) 0,603 591 669 355 511 808 × 2 = 1 + 0,207 183 338 711 023 616;
  • 19) 0,207 183 338 711 023 616 × 2 = 0 + 0,414 366 677 422 047 232;
  • 20) 0,414 366 677 422 047 232 × 2 = 0 + 0,828 733 354 844 094 464;
  • 21) 0,828 733 354 844 094 464 × 2 = 1 + 0,657 466 709 688 188 928;
  • 22) 0,657 466 709 688 188 928 × 2 = 1 + 0,314 933 419 376 377 856;
  • 23) 0,314 933 419 376 377 856 × 2 = 0 + 0,629 866 838 752 755 712;
  • 24) 0,629 866 838 752 755 712 × 2 = 1 + 0,259 733 677 505 511 424;
  • 25) 0,259 733 677 505 511 424 × 2 = 0 + 0,519 467 355 011 022 848;
  • 26) 0,519 467 355 011 022 848 × 2 = 1 + 0,038 934 710 022 045 696;
  • 27) 0,038 934 710 022 045 696 × 2 = 0 + 0,077 869 420 044 091 392;
  • 28) 0,077 869 420 044 091 392 × 2 = 0 + 0,155 738 840 088 182 784;
  • 29) 0,155 738 840 088 182 784 × 2 = 0 + 0,311 477 680 176 365 568;
  • 30) 0,311 477 680 176 365 568 × 2 = 0 + 0,622 955 360 352 731 136;
  • 31) 0,622 955 360 352 731 136 × 2 = 1 + 0,245 910 720 705 462 272;
  • 32) 0,245 910 720 705 462 272 × 2 = 0 + 0,491 821 441 410 924 544;
  • 33) 0,491 821 441 410 924 544 × 2 = 0 + 0,983 642 882 821 849 088;
  • 34) 0,983 642 882 821 849 088 × 2 = 1 + 0,967 285 765 643 698 176;
  • 35) 0,967 285 765 643 698 176 × 2 = 1 + 0,934 571 531 287 396 352;
  • 36) 0,934 571 531 287 396 352 × 2 = 1 + 0,869 143 062 574 792 704;
  • 37) 0,869 143 062 574 792 704 × 2 = 1 + 0,738 286 125 149 585 408;
  • 38) 0,738 286 125 149 585 408 × 2 = 1 + 0,476 572 250 299 170 816;
  • 39) 0,476 572 250 299 170 816 × 2 = 0 + 0,953 144 500 598 341 632;
  • 40) 0,953 144 500 598 341 632 × 2 = 1 + 0,906 289 001 196 683 264;
  • 41) 0,906 289 001 196 683 264 × 2 = 1 + 0,812 578 002 393 366 528;
  • 42) 0,812 578 002 393 366 528 × 2 = 1 + 0,625 156 004 786 733 056;
  • 43) 0,625 156 004 786 733 056 × 2 = 1 + 0,250 312 009 573 466 112;
  • 44) 0,250 312 009 573 466 112 × 2 = 0 + 0,500 624 019 146 932 224;
  • 45) 0,500 624 019 146 932 224 × 2 = 1 + 0,001 248 038 293 864 448;
  • 46) 0,001 248 038 293 864 448 × 2 = 0 + 0,002 496 076 587 728 896;
  • 47) 0,002 496 076 587 728 896 × 2 = 0 + 0,004 992 153 175 457 792;
  • 48) 0,004 992 153 175 457 792 × 2 = 0 + 0,009 984 306 350 915 584;
  • 49) 0,009 984 306 350 915 584 × 2 = 0 + 0,019 968 612 701 831 168;
  • 50) 0,019 968 612 701 831 168 × 2 = 0 + 0,039 937 225 403 662 336;
  • 51) 0,039 937 225 403 662 336 × 2 = 0 + 0,079 874 450 807 324 672;
  • 52) 0,079 874 450 807 324 672 × 2 = 0 + 0,159 748 901 614 649 344;
  • 53) 0,159 748 901 614 649 344 × 2 = 0 + 0,319 497 803 229 298 688;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,301 029 995 663 981 289(10) =

0,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,301 029 995 663 981 289(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,301 029 995 663 981 289(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0 =

0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000


Numărul zecimal 1,301 029 995 663 981 289 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000

» Scriere 1,301 029 995 663 981 212 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100