1,301 029 995 663 981 321 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,301 029 995 663 981 321(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,301 029 995 663 981 321(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,301 029 995 663 981 321.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,301 029 995 663 981 321 × 2 = 0 + 0,602 059 991 327 962 642;
  • 2) 0,602 059 991 327 962 642 × 2 = 1 + 0,204 119 982 655 925 284;
  • 3) 0,204 119 982 655 925 284 × 2 = 0 + 0,408 239 965 311 850 568;
  • 4) 0,408 239 965 311 850 568 × 2 = 0 + 0,816 479 930 623 701 136;
  • 5) 0,816 479 930 623 701 136 × 2 = 1 + 0,632 959 861 247 402 272;
  • 6) 0,632 959 861 247 402 272 × 2 = 1 + 0,265 919 722 494 804 544;
  • 7) 0,265 919 722 494 804 544 × 2 = 0 + 0,531 839 444 989 609 088;
  • 8) 0,531 839 444 989 609 088 × 2 = 1 + 0,063 678 889 979 218 176;
  • 9) 0,063 678 889 979 218 176 × 2 = 0 + 0,127 357 779 958 436 352;
  • 10) 0,127 357 779 958 436 352 × 2 = 0 + 0,254 715 559 916 872 704;
  • 11) 0,254 715 559 916 872 704 × 2 = 0 + 0,509 431 119 833 745 408;
  • 12) 0,509 431 119 833 745 408 × 2 = 1 + 0,018 862 239 667 490 816;
  • 13) 0,018 862 239 667 490 816 × 2 = 0 + 0,037 724 479 334 981 632;
  • 14) 0,037 724 479 334 981 632 × 2 = 0 + 0,075 448 958 669 963 264;
  • 15) 0,075 448 958 669 963 264 × 2 = 0 + 0,150 897 917 339 926 528;
  • 16) 0,150 897 917 339 926 528 × 2 = 0 + 0,301 795 834 679 853 056;
  • 17) 0,301 795 834 679 853 056 × 2 = 0 + 0,603 591 669 359 706 112;
  • 18) 0,603 591 669 359 706 112 × 2 = 1 + 0,207 183 338 719 412 224;
  • 19) 0,207 183 338 719 412 224 × 2 = 0 + 0,414 366 677 438 824 448;
  • 20) 0,414 366 677 438 824 448 × 2 = 0 + 0,828 733 354 877 648 896;
  • 21) 0,828 733 354 877 648 896 × 2 = 1 + 0,657 466 709 755 297 792;
  • 22) 0,657 466 709 755 297 792 × 2 = 1 + 0,314 933 419 510 595 584;
  • 23) 0,314 933 419 510 595 584 × 2 = 0 + 0,629 866 839 021 191 168;
  • 24) 0,629 866 839 021 191 168 × 2 = 1 + 0,259 733 678 042 382 336;
  • 25) 0,259 733 678 042 382 336 × 2 = 0 + 0,519 467 356 084 764 672;
  • 26) 0,519 467 356 084 764 672 × 2 = 1 + 0,038 934 712 169 529 344;
  • 27) 0,038 934 712 169 529 344 × 2 = 0 + 0,077 869 424 339 058 688;
  • 28) 0,077 869 424 339 058 688 × 2 = 0 + 0,155 738 848 678 117 376;
  • 29) 0,155 738 848 678 117 376 × 2 = 0 + 0,311 477 697 356 234 752;
  • 30) 0,311 477 697 356 234 752 × 2 = 0 + 0,622 955 394 712 469 504;
  • 31) 0,622 955 394 712 469 504 × 2 = 1 + 0,245 910 789 424 939 008;
  • 32) 0,245 910 789 424 939 008 × 2 = 0 + 0,491 821 578 849 878 016;
  • 33) 0,491 821 578 849 878 016 × 2 = 0 + 0,983 643 157 699 756 032;
  • 34) 0,983 643 157 699 756 032 × 2 = 1 + 0,967 286 315 399 512 064;
  • 35) 0,967 286 315 399 512 064 × 2 = 1 + 0,934 572 630 799 024 128;
  • 36) 0,934 572 630 799 024 128 × 2 = 1 + 0,869 145 261 598 048 256;
  • 37) 0,869 145 261 598 048 256 × 2 = 1 + 0,738 290 523 196 096 512;
  • 38) 0,738 290 523 196 096 512 × 2 = 1 + 0,476 581 046 392 193 024;
  • 39) 0,476 581 046 392 193 024 × 2 = 0 + 0,953 162 092 784 386 048;
  • 40) 0,953 162 092 784 386 048 × 2 = 1 + 0,906 324 185 568 772 096;
  • 41) 0,906 324 185 568 772 096 × 2 = 1 + 0,812 648 371 137 544 192;
  • 42) 0,812 648 371 137 544 192 × 2 = 1 + 0,625 296 742 275 088 384;
  • 43) 0,625 296 742 275 088 384 × 2 = 1 + 0,250 593 484 550 176 768;
  • 44) 0,250 593 484 550 176 768 × 2 = 0 + 0,501 186 969 100 353 536;
  • 45) 0,501 186 969 100 353 536 × 2 = 1 + 0,002 373 938 200 707 072;
  • 46) 0,002 373 938 200 707 072 × 2 = 0 + 0,004 747 876 401 414 144;
  • 47) 0,004 747 876 401 414 144 × 2 = 0 + 0,009 495 752 802 828 288;
  • 48) 0,009 495 752 802 828 288 × 2 = 0 + 0,018 991 505 605 656 576;
  • 49) 0,018 991 505 605 656 576 × 2 = 0 + 0,037 983 011 211 313 152;
  • 50) 0,037 983 011 211 313 152 × 2 = 0 + 0,075 966 022 422 626 304;
  • 51) 0,075 966 022 422 626 304 × 2 = 0 + 0,151 932 044 845 252 608;
  • 52) 0,151 932 044 845 252 608 × 2 = 0 + 0,303 864 089 690 505 216;
  • 53) 0,303 864 089 690 505 216 × 2 = 0 + 0,607 728 179 381 010 432;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,301 029 995 663 981 321(10) =

0,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,301 029 995 663 981 321(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,301 029 995 663 981 321(10) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2) =

1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000 0 =

0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000


Numărul zecimal 1,301 029 995 663 981 321 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1101 0001 0000 0100 1101 0100 0010 0111 1101 1110 1000 0000

» Scriere 1,301 029 995 663 981 324 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100