1,307 100 402 889 773 249 622 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,307 100 402 889 773 249 622 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,307 100 402 889 773 249 622 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,307 100 402 889 773 249 622 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,307 100 402 889 773 249 622 37 × 2 = 0 + 0,614 200 805 779 546 499 244 74;
  • 2) 0,614 200 805 779 546 499 244 74 × 2 = 1 + 0,228 401 611 559 092 998 489 48;
  • 3) 0,228 401 611 559 092 998 489 48 × 2 = 0 + 0,456 803 223 118 185 996 978 96;
  • 4) 0,456 803 223 118 185 996 978 96 × 2 = 0 + 0,913 606 446 236 371 993 957 92;
  • 5) 0,913 606 446 236 371 993 957 92 × 2 = 1 + 0,827 212 892 472 743 987 915 84;
  • 6) 0,827 212 892 472 743 987 915 84 × 2 = 1 + 0,654 425 784 945 487 975 831 68;
  • 7) 0,654 425 784 945 487 975 831 68 × 2 = 1 + 0,308 851 569 890 975 951 663 36;
  • 8) 0,308 851 569 890 975 951 663 36 × 2 = 0 + 0,617 703 139 781 951 903 326 72;
  • 9) 0,617 703 139 781 951 903 326 72 × 2 = 1 + 0,235 406 279 563 903 806 653 44;
  • 10) 0,235 406 279 563 903 806 653 44 × 2 = 0 + 0,470 812 559 127 807 613 306 88;
  • 11) 0,470 812 559 127 807 613 306 88 × 2 = 0 + 0,941 625 118 255 615 226 613 76;
  • 12) 0,941 625 118 255 615 226 613 76 × 2 = 1 + 0,883 250 236 511 230 453 227 52;
  • 13) 0,883 250 236 511 230 453 227 52 × 2 = 1 + 0,766 500 473 022 460 906 455 04;
  • 14) 0,766 500 473 022 460 906 455 04 × 2 = 1 + 0,533 000 946 044 921 812 910 08;
  • 15) 0,533 000 946 044 921 812 910 08 × 2 = 1 + 0,066 001 892 089 843 625 820 16;
  • 16) 0,066 001 892 089 843 625 820 16 × 2 = 0 + 0,132 003 784 179 687 251 640 32;
  • 17) 0,132 003 784 179 687 251 640 32 × 2 = 0 + 0,264 007 568 359 374 503 280 64;
  • 18) 0,264 007 568 359 374 503 280 64 × 2 = 0 + 0,528 015 136 718 749 006 561 28;
  • 19) 0,528 015 136 718 749 006 561 28 × 2 = 1 + 0,056 030 273 437 498 013 122 56;
  • 20) 0,056 030 273 437 498 013 122 56 × 2 = 0 + 0,112 060 546 874 996 026 245 12;
  • 21) 0,112 060 546 874 996 026 245 12 × 2 = 0 + 0,224 121 093 749 992 052 490 24;
  • 22) 0,224 121 093 749 992 052 490 24 × 2 = 0 + 0,448 242 187 499 984 104 980 48;
  • 23) 0,448 242 187 499 984 104 980 48 × 2 = 0 + 0,896 484 374 999 968 209 960 96;
  • 24) 0,896 484 374 999 968 209 960 96 × 2 = 1 + 0,792 968 749 999 936 419 921 92;
  • 25) 0,792 968 749 999 936 419 921 92 × 2 = 1 + 0,585 937 499 999 872 839 843 84;
  • 26) 0,585 937 499 999 872 839 843 84 × 2 = 1 + 0,171 874 999 999 745 679 687 68;
  • 27) 0,171 874 999 999 745 679 687 68 × 2 = 0 + 0,343 749 999 999 491 359 375 36;
  • 28) 0,343 749 999 999 491 359 375 36 × 2 = 0 + 0,687 499 999 998 982 718 750 72;
  • 29) 0,687 499 999 998 982 718 750 72 × 2 = 1 + 0,374 999 999 997 965 437 501 44;
  • 30) 0,374 999 999 997 965 437 501 44 × 2 = 0 + 0,749 999 999 995 930 875 002 88;
  • 31) 0,749 999 999 995 930 875 002 88 × 2 = 1 + 0,499 999 999 991 861 750 005 76;
  • 32) 0,499 999 999 991 861 750 005 76 × 2 = 0 + 0,999 999 999 983 723 500 011 52;
  • 33) 0,999 999 999 983 723 500 011 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 967 447 000 023 04;
  • 34) 0,999 999 999 967 447 000 023 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 934 894 000 046 08;
  • 35) 0,999 999 999 934 894 000 046 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 869 788 000 092 16;
  • 36) 0,999 999 999 869 788 000 092 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 739 576 000 184 32;
  • 37) 0,999 999 999 739 576 000 184 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 479 152 000 368 64;
  • 38) 0,999 999 999 479 152 000 368 64 × 2 = 1 + 0,999 999 998 958 304 000 737 28;
  • 39) 0,999 999 998 958 304 000 737 28 × 2 = 1 + 0,999 999 997 916 608 001 474 56;
  • 40) 0,999 999 997 916 608 001 474 56 × 2 = 1 + 0,999 999 995 833 216 002 949 12;
  • 41) 0,999 999 995 833 216 002 949 12 × 2 = 1 + 0,999 999 991 666 432 005 898 24;
  • 42) 0,999 999 991 666 432 005 898 24 × 2 = 1 + 0,999 999 983 332 864 011 796 48;
  • 43) 0,999 999 983 332 864 011 796 48 × 2 = 1 + 0,999 999 966 665 728 023 592 96;
  • 44) 0,999 999 966 665 728 023 592 96 × 2 = 1 + 0,999 999 933 331 456 047 185 92;
  • 45) 0,999 999 933 331 456 047 185 92 × 2 = 1 + 0,999 999 866 662 912 094 371 84;
  • 46) 0,999 999 866 662 912 094 371 84 × 2 = 1 + 0,999 999 733 325 824 188 743 68;
  • 47) 0,999 999 733 325 824 188 743 68 × 2 = 1 + 0,999 999 466 651 648 377 487 36;
  • 48) 0,999 999 466 651 648 377 487 36 × 2 = 1 + 0,999 998 933 303 296 754 974 72;
  • 49) 0,999 998 933 303 296 754 974 72 × 2 = 1 + 0,999 997 866 606 593 509 949 44;
  • 50) 0,999 997 866 606 593 509 949 44 × 2 = 1 + 0,999 995 733 213 187 019 898 88;
  • 51) 0,999 995 733 213 187 019 898 88 × 2 = 1 + 0,999 991 466 426 374 039 797 76;
  • 52) 0,999 991 466 426 374 039 797 76 × 2 = 1 + 0,999 982 932 852 748 079 595 52;
  • 53) 0,999 982 932 852 748 079 595 52 × 2 = 1 + 0,999 965 865 705 496 159 191 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,307 100 402 889 773 249 622 37(10) =

0,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,307 100 402 889 773 249 622 37(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,307 100 402 889 773 249 622 37(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1 =

0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 1,307 100 402 889 773 249 622 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 1,307 100 402 889 773 249 623 21 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100