1,307 100 402 889 773 249 626 159 591 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,307 100 402 889 773 249 626 159 591(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,307 100 402 889 773 249 626 159 591(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,307 100 402 889 773 249 626 159 591.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,307 100 402 889 773 249 626 159 591 × 2 = 0 + 0,614 200 805 779 546 499 252 319 182;
  • 2) 0,614 200 805 779 546 499 252 319 182 × 2 = 1 + 0,228 401 611 559 092 998 504 638 364;
  • 3) 0,228 401 611 559 092 998 504 638 364 × 2 = 0 + 0,456 803 223 118 185 997 009 276 728;
  • 4) 0,456 803 223 118 185 997 009 276 728 × 2 = 0 + 0,913 606 446 236 371 994 018 553 456;
  • 5) 0,913 606 446 236 371 994 018 553 456 × 2 = 1 + 0,827 212 892 472 743 988 037 106 912;
  • 6) 0,827 212 892 472 743 988 037 106 912 × 2 = 1 + 0,654 425 784 945 487 976 074 213 824;
  • 7) 0,654 425 784 945 487 976 074 213 824 × 2 = 1 + 0,308 851 569 890 975 952 148 427 648;
  • 8) 0,308 851 569 890 975 952 148 427 648 × 2 = 0 + 0,617 703 139 781 951 904 296 855 296;
  • 9) 0,617 703 139 781 951 904 296 855 296 × 2 = 1 + 0,235 406 279 563 903 808 593 710 592;
  • 10) 0,235 406 279 563 903 808 593 710 592 × 2 = 0 + 0,470 812 559 127 807 617 187 421 184;
  • 11) 0,470 812 559 127 807 617 187 421 184 × 2 = 0 + 0,941 625 118 255 615 234 374 842 368;
  • 12) 0,941 625 118 255 615 234 374 842 368 × 2 = 1 + 0,883 250 236 511 230 468 749 684 736;
  • 13) 0,883 250 236 511 230 468 749 684 736 × 2 = 1 + 0,766 500 473 022 460 937 499 369 472;
  • 14) 0,766 500 473 022 460 937 499 369 472 × 2 = 1 + 0,533 000 946 044 921 874 998 738 944;
  • 15) 0,533 000 946 044 921 874 998 738 944 × 2 = 1 + 0,066 001 892 089 843 749 997 477 888;
  • 16) 0,066 001 892 089 843 749 997 477 888 × 2 = 0 + 0,132 003 784 179 687 499 994 955 776;
  • 17) 0,132 003 784 179 687 499 994 955 776 × 2 = 0 + 0,264 007 568 359 374 999 989 911 552;
  • 18) 0,264 007 568 359 374 999 989 911 552 × 2 = 0 + 0,528 015 136 718 749 999 979 823 104;
  • 19) 0,528 015 136 718 749 999 979 823 104 × 2 = 1 + 0,056 030 273 437 499 999 959 646 208;
  • 20) 0,056 030 273 437 499 999 959 646 208 × 2 = 0 + 0,112 060 546 874 999 999 919 292 416;
  • 21) 0,112 060 546 874 999 999 919 292 416 × 2 = 0 + 0,224 121 093 749 999 999 838 584 832;
  • 22) 0,224 121 093 749 999 999 838 584 832 × 2 = 0 + 0,448 242 187 499 999 999 677 169 664;
  • 23) 0,448 242 187 499 999 999 677 169 664 × 2 = 0 + 0,896 484 374 999 999 999 354 339 328;
  • 24) 0,896 484 374 999 999 999 354 339 328 × 2 = 1 + 0,792 968 749 999 999 998 708 678 656;
  • 25) 0,792 968 749 999 999 998 708 678 656 × 2 = 1 + 0,585 937 499 999 999 997 417 357 312;
  • 26) 0,585 937 499 999 999 997 417 357 312 × 2 = 1 + 0,171 874 999 999 999 994 834 714 624;
  • 27) 0,171 874 999 999 999 994 834 714 624 × 2 = 0 + 0,343 749 999 999 999 989 669 429 248;
  • 28) 0,343 749 999 999 999 989 669 429 248 × 2 = 0 + 0,687 499 999 999 999 979 338 858 496;
  • 29) 0,687 499 999 999 999 979 338 858 496 × 2 = 1 + 0,374 999 999 999 999 958 677 716 992;
  • 30) 0,374 999 999 999 999 958 677 716 992 × 2 = 0 + 0,749 999 999 999 999 917 355 433 984;
  • 31) 0,749 999 999 999 999 917 355 433 984 × 2 = 1 + 0,499 999 999 999 999 834 710 867 968;
  • 32) 0,499 999 999 999 999 834 710 867 968 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 669 421 735 936;
  • 33) 0,999 999 999 999 999 669 421 735 936 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 338 843 471 872;
  • 34) 0,999 999 999 999 999 338 843 471 872 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 677 686 943 744;
  • 35) 0,999 999 999 999 998 677 686 943 744 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 997 355 373 887 488;
  • 36) 0,999 999 999 999 997 355 373 887 488 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 994 710 747 774 976;
  • 37) 0,999 999 999 999 994 710 747 774 976 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 989 421 495 549 952;
  • 38) 0,999 999 999 999 989 421 495 549 952 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 978 842 991 099 904;
  • 39) 0,999 999 999 999 978 842 991 099 904 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 957 685 982 199 808;
  • 40) 0,999 999 999 999 957 685 982 199 808 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 915 371 964 399 616;
  • 41) 0,999 999 999 999 915 371 964 399 616 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 830 743 928 799 232;
  • 42) 0,999 999 999 999 830 743 928 799 232 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 661 487 857 598 464;
  • 43) 0,999 999 999 999 661 487 857 598 464 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 322 975 715 196 928;
  • 44) 0,999 999 999 999 322 975 715 196 928 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 645 951 430 393 856;
  • 45) 0,999 999 999 998 645 951 430 393 856 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 291 902 860 787 712;
  • 46) 0,999 999 999 997 291 902 860 787 712 × 2 = 1 + 0,999 999 999 994 583 805 721 575 424;
  • 47) 0,999 999 999 994 583 805 721 575 424 × 2 = 1 + 0,999 999 999 989 167 611 443 150 848;
  • 48) 0,999 999 999 989 167 611 443 150 848 × 2 = 1 + 0,999 999 999 978 335 222 886 301 696;
  • 49) 0,999 999 999 978 335 222 886 301 696 × 2 = 1 + 0,999 999 999 956 670 445 772 603 392;
  • 50) 0,999 999 999 956 670 445 772 603 392 × 2 = 1 + 0,999 999 999 913 340 891 545 206 784;
  • 51) 0,999 999 999 913 340 891 545 206 784 × 2 = 1 + 0,999 999 999 826 681 783 090 413 568;
  • 52) 0,999 999 999 826 681 783 090 413 568 × 2 = 1 + 0,999 999 999 653 363 566 180 827 136;
  • 53) 0,999 999 999 653 363 566 180 827 136 × 2 = 1 + 0,999 999 999 306 727 132 361 654 272;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,307 100 402 889 773 249 626 159 591(10) =

0,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,307 100 402 889 773 249 626 159 591(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,307 100 402 889 773 249 626 159 591(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111 1 =

0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 1,307 100 402 889 773 249 626 159 591 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1010 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 1,307 100 402 889 773 249 626 159 606 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100