1,307 100 402 889 775 14 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,307 100 402 889 775 14(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,307 100 402 889 775 14(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,307 100 402 889 775 14.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,307 100 402 889 775 14 × 2 = 0 + 0,614 200 805 779 550 28;
  • 2) 0,614 200 805 779 550 28 × 2 = 1 + 0,228 401 611 559 100 56;
  • 3) 0,228 401 611 559 100 56 × 2 = 0 + 0,456 803 223 118 201 12;
  • 4) 0,456 803 223 118 201 12 × 2 = 0 + 0,913 606 446 236 402 24;
  • 5) 0,913 606 446 236 402 24 × 2 = 1 + 0,827 212 892 472 804 48;
  • 6) 0,827 212 892 472 804 48 × 2 = 1 + 0,654 425 784 945 608 96;
  • 7) 0,654 425 784 945 608 96 × 2 = 1 + 0,308 851 569 891 217 92;
  • 8) 0,308 851 569 891 217 92 × 2 = 0 + 0,617 703 139 782 435 84;
  • 9) 0,617 703 139 782 435 84 × 2 = 1 + 0,235 406 279 564 871 68;
  • 10) 0,235 406 279 564 871 68 × 2 = 0 + 0,470 812 559 129 743 36;
  • 11) 0,470 812 559 129 743 36 × 2 = 0 + 0,941 625 118 259 486 72;
  • 12) 0,941 625 118 259 486 72 × 2 = 1 + 0,883 250 236 518 973 44;
  • 13) 0,883 250 236 518 973 44 × 2 = 1 + 0,766 500 473 037 946 88;
  • 14) 0,766 500 473 037 946 88 × 2 = 1 + 0,533 000 946 075 893 76;
  • 15) 0,533 000 946 075 893 76 × 2 = 1 + 0,066 001 892 151 787 52;
  • 16) 0,066 001 892 151 787 52 × 2 = 0 + 0,132 003 784 303 575 04;
  • 17) 0,132 003 784 303 575 04 × 2 = 0 + 0,264 007 568 607 150 08;
  • 18) 0,264 007 568 607 150 08 × 2 = 0 + 0,528 015 137 214 300 16;
  • 19) 0,528 015 137 214 300 16 × 2 = 1 + 0,056 030 274 428 600 32;
  • 20) 0,056 030 274 428 600 32 × 2 = 0 + 0,112 060 548 857 200 64;
  • 21) 0,112 060 548 857 200 64 × 2 = 0 + 0,224 121 097 714 401 28;
  • 22) 0,224 121 097 714 401 28 × 2 = 0 + 0,448 242 195 428 802 56;
  • 23) 0,448 242 195 428 802 56 × 2 = 0 + 0,896 484 390 857 605 12;
  • 24) 0,896 484 390 857 605 12 × 2 = 1 + 0,792 968 781 715 210 24;
  • 25) 0,792 968 781 715 210 24 × 2 = 1 + 0,585 937 563 430 420 48;
  • 26) 0,585 937 563 430 420 48 × 2 = 1 + 0,171 875 126 860 840 96;
  • 27) 0,171 875 126 860 840 96 × 2 = 0 + 0,343 750 253 721 681 92;
  • 28) 0,343 750 253 721 681 92 × 2 = 0 + 0,687 500 507 443 363 84;
  • 29) 0,687 500 507 443 363 84 × 2 = 1 + 0,375 001 014 886 727 68;
  • 30) 0,375 001 014 886 727 68 × 2 = 0 + 0,750 002 029 773 455 36;
  • 31) 0,750 002 029 773 455 36 × 2 = 1 + 0,500 004 059 546 910 72;
  • 32) 0,500 004 059 546 910 72 × 2 = 1 + 0,000 008 119 093 821 44;
  • 33) 0,000 008 119 093 821 44 × 2 = 0 + 0,000 016 238 187 642 88;
  • 34) 0,000 016 238 187 642 88 × 2 = 0 + 0,000 032 476 375 285 76;
  • 35) 0,000 032 476 375 285 76 × 2 = 0 + 0,000 064 952 750 571 52;
  • 36) 0,000 064 952 750 571 52 × 2 = 0 + 0,000 129 905 501 143 04;
  • 37) 0,000 129 905 501 143 04 × 2 = 0 + 0,000 259 811 002 286 08;
  • 38) 0,000 259 811 002 286 08 × 2 = 0 + 0,000 519 622 004 572 16;
  • 39) 0,000 519 622 004 572 16 × 2 = 0 + 0,001 039 244 009 144 32;
  • 40) 0,001 039 244 009 144 32 × 2 = 0 + 0,002 078 488 018 288 64;
  • 41) 0,002 078 488 018 288 64 × 2 = 0 + 0,004 156 976 036 577 28;
  • 42) 0,004 156 976 036 577 28 × 2 = 0 + 0,008 313 952 073 154 56;
  • 43) 0,008 313 952 073 154 56 × 2 = 0 + 0,016 627 904 146 309 12;
  • 44) 0,016 627 904 146 309 12 × 2 = 0 + 0,033 255 808 292 618 24;
  • 45) 0,033 255 808 292 618 24 × 2 = 0 + 0,066 511 616 585 236 48;
  • 46) 0,066 511 616 585 236 48 × 2 = 0 + 0,133 023 233 170 472 96;
  • 47) 0,133 023 233 170 472 96 × 2 = 0 + 0,266 046 466 340 945 92;
  • 48) 0,266 046 466 340 945 92 × 2 = 0 + 0,532 092 932 681 891 84;
  • 49) 0,532 092 932 681 891 84 × 2 = 1 + 0,064 185 865 363 783 68;
  • 50) 0,064 185 865 363 783 68 × 2 = 0 + 0,128 371 730 727 567 36;
  • 51) 0,128 371 730 727 567 36 × 2 = 0 + 0,256 743 461 455 134 72;
  • 52) 0,256 743 461 455 134 72 × 2 = 0 + 0,513 486 922 910 269 44;
  • 53) 0,513 486 922 910 269 44 × 2 = 1 + 0,026 973 845 820 538 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,307 100 402 889 775 14(10) =

0,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,307 100 402 889 775 14(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,307 100 402 889 775 14(10) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1(2) =

1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000 1 =

0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000


Numărul zecimal 1,307 100 402 889 775 14 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0100 1110 1001 1110 0010 0001 1100 1011 0000 0000 0000 0000 1000

Distribuie

» Scriere 1,307 100 402 889 775 64 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100