1,324 218 750 000 000 222 044 604 59 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,324 218 750 000 000 222 044 604 59(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,324 218 750 000 000 222 044 604 59(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,324 218 750 000 000 222 044 604 59.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,324 218 750 000 000 222 044 604 59 × 2 = 0 + 0,648 437 500 000 000 444 089 209 18;
  • 2) 0,648 437 500 000 000 444 089 209 18 × 2 = 1 + 0,296 875 000 000 000 888 178 418 36;
  • 3) 0,296 875 000 000 000 888 178 418 36 × 2 = 0 + 0,593 750 000 000 001 776 356 836 72;
  • 4) 0,593 750 000 000 001 776 356 836 72 × 2 = 1 + 0,187 500 000 000 003 552 713 673 44;
  • 5) 0,187 500 000 000 003 552 713 673 44 × 2 = 0 + 0,375 000 000 000 007 105 427 346 88;
  • 6) 0,375 000 000 000 007 105 427 346 88 × 2 = 0 + 0,750 000 000 000 014 210 854 693 76;
  • 7) 0,750 000 000 000 014 210 854 693 76 × 2 = 1 + 0,500 000 000 000 028 421 709 387 52;
  • 8) 0,500 000 000 000 028 421 709 387 52 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 056 843 418 775 04;
  • 9) 0,000 000 000 000 056 843 418 775 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 113 686 837 550 08;
  • 10) 0,000 000 000 000 113 686 837 550 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 227 373 675 100 16;
  • 11) 0,000 000 000 000 227 373 675 100 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 454 747 350 200 32;
  • 12) 0,000 000 000 000 454 747 350 200 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 909 494 700 400 64;
  • 13) 0,000 000 000 000 909 494 700 400 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 818 989 400 801 28;
  • 14) 0,000 000 000 001 818 989 400 801 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 637 978 801 602 56;
  • 15) 0,000 000 000 003 637 978 801 602 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 275 957 603 205 12;
  • 16) 0,000 000 000 007 275 957 603 205 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 551 915 206 410 24;
  • 17) 0,000 000 000 014 551 915 206 410 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 103 830 412 820 48;
  • 18) 0,000 000 000 029 103 830 412 820 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 207 660 825 640 96;
  • 19) 0,000 000 000 058 207 660 825 640 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 415 321 651 281 92;
  • 20) 0,000 000 000 116 415 321 651 281 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 830 643 302 563 84;
  • 21) 0,000 000 000 232 830 643 302 563 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 661 286 605 127 68;
  • 22) 0,000 000 000 465 661 286 605 127 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 931 322 573 210 255 36;
  • 23) 0,000 000 000 931 322 573 210 255 36 × 2 = 0 + 0,000 000 001 862 645 146 420 510 72;
  • 24) 0,000 000 001 862 645 146 420 510 72 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 290 292 841 021 44;
  • 25) 0,000 000 003 725 290 292 841 021 44 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 580 585 682 042 88;
  • 26) 0,000 000 007 450 580 585 682 042 88 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 161 171 364 085 76;
  • 27) 0,000 000 014 901 161 171 364 085 76 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 322 342 728 171 52;
  • 28) 0,000 000 029 802 322 342 728 171 52 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 644 685 456 343 04;
  • 29) 0,000 000 059 604 644 685 456 343 04 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 289 370 912 686 08;
  • 30) 0,000 000 119 209 289 370 912 686 08 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 578 741 825 372 16;
  • 31) 0,000 000 238 418 578 741 825 372 16 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 157 483 650 744 32;
  • 32) 0,000 000 476 837 157 483 650 744 32 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 314 967 301 488 64;
  • 33) 0,000 000 953 674 314 967 301 488 64 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 629 934 602 977 28;
  • 34) 0,000 001 907 348 629 934 602 977 28 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 259 869 205 954 56;
  • 35) 0,000 003 814 697 259 869 205 954 56 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 519 738 411 909 12;
  • 36) 0,000 007 629 394 519 738 411 909 12 × 2 = 0 + 0,000 015 258 789 039 476 823 818 24;
  • 37) 0,000 015 258 789 039 476 823 818 24 × 2 = 0 + 0,000 030 517 578 078 953 647 636 48;
  • 38) 0,000 030 517 578 078 953 647 636 48 × 2 = 0 + 0,000 061 035 156 157 907 295 272 96;
  • 39) 0,000 061 035 156 157 907 295 272 96 × 2 = 0 + 0,000 122 070 312 315 814 590 545 92;
  • 40) 0,000 122 070 312 315 814 590 545 92 × 2 = 0 + 0,000 244 140 624 631 629 181 091 84;
  • 41) 0,000 244 140 624 631 629 181 091 84 × 2 = 0 + 0,000 488 281 249 263 258 362 183 68;
  • 42) 0,000 488 281 249 263 258 362 183 68 × 2 = 0 + 0,000 976 562 498 526 516 724 367 36;
  • 43) 0,000 976 562 498 526 516 724 367 36 × 2 = 0 + 0,001 953 124 997 053 033 448 734 72;
  • 44) 0,001 953 124 997 053 033 448 734 72 × 2 = 0 + 0,003 906 249 994 106 066 897 469 44;
  • 45) 0,003 906 249 994 106 066 897 469 44 × 2 = 0 + 0,007 812 499 988 212 133 794 938 88;
  • 46) 0,007 812 499 988 212 133 794 938 88 × 2 = 0 + 0,015 624 999 976 424 267 589 877 76;
  • 47) 0,015 624 999 976 424 267 589 877 76 × 2 = 0 + 0,031 249 999 952 848 535 179 755 52;
  • 48) 0,031 249 999 952 848 535 179 755 52 × 2 = 0 + 0,062 499 999 905 697 070 359 511 04;
  • 49) 0,062 499 999 905 697 070 359 511 04 × 2 = 0 + 0,124 999 999 811 394 140 719 022 08;
  • 50) 0,124 999 999 811 394 140 719 022 08 × 2 = 0 + 0,249 999 999 622 788 281 438 044 16;
  • 51) 0,249 999 999 622 788 281 438 044 16 × 2 = 0 + 0,499 999 999 245 576 562 876 088 32;
  • 52) 0,499 999 999 245 576 562 876 088 32 × 2 = 0 + 0,999 999 998 491 153 125 752 176 64;
  • 53) 0,999 999 998 491 153 125 752 176 64 × 2 = 1 + 0,999 999 996 982 306 251 504 353 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,324 218 750 000 000 222 044 604 59(10) =

0,0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,324 218 750 000 000 222 044 604 59(10) =

1,0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,324 218 750 000 000 222 044 604 59(10) =

1,0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1(2) =

1,0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1 =

0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 1,324 218 750 000 000 222 044 604 59 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere 1,324 218 750 000 000 222 044 604 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100