1,324 873 598 932 801 249 812 342 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,324 873 598 932 801 249 812 342 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,324 873 598 932 801 249 812 342 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,324 873 598 932 801 249 812 342 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,324 873 598 932 801 249 812 342 2 × 2 = 0 + 0,649 747 197 865 602 499 624 684 4;
  • 2) 0,649 747 197 865 602 499 624 684 4 × 2 = 1 + 0,299 494 395 731 204 999 249 368 8;
  • 3) 0,299 494 395 731 204 999 249 368 8 × 2 = 0 + 0,598 988 791 462 409 998 498 737 6;
  • 4) 0,598 988 791 462 409 998 498 737 6 × 2 = 1 + 0,197 977 582 924 819 996 997 475 2;
  • 5) 0,197 977 582 924 819 996 997 475 2 × 2 = 0 + 0,395 955 165 849 639 993 994 950 4;
  • 6) 0,395 955 165 849 639 993 994 950 4 × 2 = 0 + 0,791 910 331 699 279 987 989 900 8;
  • 7) 0,791 910 331 699 279 987 989 900 8 × 2 = 1 + 0,583 820 663 398 559 975 979 801 6;
  • 8) 0,583 820 663 398 559 975 979 801 6 × 2 = 1 + 0,167 641 326 797 119 951 959 603 2;
  • 9) 0,167 641 326 797 119 951 959 603 2 × 2 = 0 + 0,335 282 653 594 239 903 919 206 4;
  • 10) 0,335 282 653 594 239 903 919 206 4 × 2 = 0 + 0,670 565 307 188 479 807 838 412 8;
  • 11) 0,670 565 307 188 479 807 838 412 8 × 2 = 1 + 0,341 130 614 376 959 615 676 825 6;
  • 12) 0,341 130 614 376 959 615 676 825 6 × 2 = 0 + 0,682 261 228 753 919 231 353 651 2;
  • 13) 0,682 261 228 753 919 231 353 651 2 × 2 = 1 + 0,364 522 457 507 838 462 707 302 4;
  • 14) 0,364 522 457 507 838 462 707 302 4 × 2 = 0 + 0,729 044 915 015 676 925 414 604 8;
  • 15) 0,729 044 915 015 676 925 414 604 8 × 2 = 1 + 0,458 089 830 031 353 850 829 209 6;
  • 16) 0,458 089 830 031 353 850 829 209 6 × 2 = 0 + 0,916 179 660 062 707 701 658 419 2;
  • 17) 0,916 179 660 062 707 701 658 419 2 × 2 = 1 + 0,832 359 320 125 415 403 316 838 4;
  • 18) 0,832 359 320 125 415 403 316 838 4 × 2 = 1 + 0,664 718 640 250 830 806 633 676 8;
  • 19) 0,664 718 640 250 830 806 633 676 8 × 2 = 1 + 0,329 437 280 501 661 613 267 353 6;
  • 20) 0,329 437 280 501 661 613 267 353 6 × 2 = 0 + 0,658 874 561 003 323 226 534 707 2;
  • 21) 0,658 874 561 003 323 226 534 707 2 × 2 = 1 + 0,317 749 122 006 646 453 069 414 4;
  • 22) 0,317 749 122 006 646 453 069 414 4 × 2 = 0 + 0,635 498 244 013 292 906 138 828 8;
  • 23) 0,635 498 244 013 292 906 138 828 8 × 2 = 1 + 0,270 996 488 026 585 812 277 657 6;
  • 24) 0,270 996 488 026 585 812 277 657 6 × 2 = 0 + 0,541 992 976 053 171 624 555 315 2;
  • 25) 0,541 992 976 053 171 624 555 315 2 × 2 = 1 + 0,083 985 952 106 343 249 110 630 4;
  • 26) 0,083 985 952 106 343 249 110 630 4 × 2 = 0 + 0,167 971 904 212 686 498 221 260 8;
  • 27) 0,167 971 904 212 686 498 221 260 8 × 2 = 0 + 0,335 943 808 425 372 996 442 521 6;
  • 28) 0,335 943 808 425 372 996 442 521 6 × 2 = 0 + 0,671 887 616 850 745 992 885 043 2;
  • 29) 0,671 887 616 850 745 992 885 043 2 × 2 = 1 + 0,343 775 233 701 491 985 770 086 4;
  • 30) 0,343 775 233 701 491 985 770 086 4 × 2 = 0 + 0,687 550 467 402 983 971 540 172 8;
  • 31) 0,687 550 467 402 983 971 540 172 8 × 2 = 1 + 0,375 100 934 805 967 943 080 345 6;
  • 32) 0,375 100 934 805 967 943 080 345 6 × 2 = 0 + 0,750 201 869 611 935 886 160 691 2;
  • 33) 0,750 201 869 611 935 886 160 691 2 × 2 = 1 + 0,500 403 739 223 871 772 321 382 4;
  • 34) 0,500 403 739 223 871 772 321 382 4 × 2 = 1 + 0,000 807 478 447 743 544 642 764 8;
  • 35) 0,000 807 478 447 743 544 642 764 8 × 2 = 0 + 0,001 614 956 895 487 089 285 529 6;
  • 36) 0,001 614 956 895 487 089 285 529 6 × 2 = 0 + 0,003 229 913 790 974 178 571 059 2;
  • 37) 0,003 229 913 790 974 178 571 059 2 × 2 = 0 + 0,006 459 827 581 948 357 142 118 4;
  • 38) 0,006 459 827 581 948 357 142 118 4 × 2 = 0 + 0,012 919 655 163 896 714 284 236 8;
  • 39) 0,012 919 655 163 896 714 284 236 8 × 2 = 0 + 0,025 839 310 327 793 428 568 473 6;
  • 40) 0,025 839 310 327 793 428 568 473 6 × 2 = 0 + 0,051 678 620 655 586 857 136 947 2;
  • 41) 0,051 678 620 655 586 857 136 947 2 × 2 = 0 + 0,103 357 241 311 173 714 273 894 4;
  • 42) 0,103 357 241 311 173 714 273 894 4 × 2 = 0 + 0,206 714 482 622 347 428 547 788 8;
  • 43) 0,206 714 482 622 347 428 547 788 8 × 2 = 0 + 0,413 428 965 244 694 857 095 577 6;
  • 44) 0,413 428 965 244 694 857 095 577 6 × 2 = 0 + 0,826 857 930 489 389 714 191 155 2;
  • 45) 0,826 857 930 489 389 714 191 155 2 × 2 = 1 + 0,653 715 860 978 779 428 382 310 4;
  • 46) 0,653 715 860 978 779 428 382 310 4 × 2 = 1 + 0,307 431 721 957 558 856 764 620 8;
  • 47) 0,307 431 721 957 558 856 764 620 8 × 2 = 0 + 0,614 863 443 915 117 713 529 241 6;
  • 48) 0,614 863 443 915 117 713 529 241 6 × 2 = 1 + 0,229 726 887 830 235 427 058 483 2;
  • 49) 0,229 726 887 830 235 427 058 483 2 × 2 = 0 + 0,459 453 775 660 470 854 116 966 4;
  • 50) 0,459 453 775 660 470 854 116 966 4 × 2 = 0 + 0,918 907 551 320 941 708 233 932 8;
  • 51) 0,918 907 551 320 941 708 233 932 8 × 2 = 1 + 0,837 815 102 641 883 416 467 865 6;
  • 52) 0,837 815 102 641 883 416 467 865 6 × 2 = 1 + 0,675 630 205 283 766 832 935 731 2;
  • 53) 0,675 630 205 283 766 832 935 731 2 × 2 = 1 + 0,351 260 410 567 533 665 871 462 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,324 873 598 932 801 249 812 342 2(10) =

0,0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,324 873 598 932 801 249 812 342 2(10) =

1,0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,324 873 598 932 801 249 812 342 2(10) =

1,0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1(2) =

1,0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011 1 =

0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011


Numărul zecimal 1,324 873 598 932 801 249 812 342 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 0011 0010 1010 1110 1010 1000 1010 1100 0000 0000 1101 0011

Distribuie

» Scriere 1,324 873 598 932 801 249 812 349 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100