1,337 513 820 349 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,337 513 820 349 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,337 513 820 349 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,337 513 820 349 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,337 513 820 349 2 × 2 = 0 + 0,675 027 640 698 4;
  • 2) 0,675 027 640 698 4 × 2 = 1 + 0,350 055 281 396 8;
  • 3) 0,350 055 281 396 8 × 2 = 0 + 0,700 110 562 793 6;
  • 4) 0,700 110 562 793 6 × 2 = 1 + 0,400 221 125 587 2;
  • 5) 0,400 221 125 587 2 × 2 = 0 + 0,800 442 251 174 4;
  • 6) 0,800 442 251 174 4 × 2 = 1 + 0,600 884 502 348 8;
  • 7) 0,600 884 502 348 8 × 2 = 1 + 0,201 769 004 697 6;
  • 8) 0,201 769 004 697 6 × 2 = 0 + 0,403 538 009 395 2;
  • 9) 0,403 538 009 395 2 × 2 = 0 + 0,807 076 018 790 4;
  • 10) 0,807 076 018 790 4 × 2 = 1 + 0,614 152 037 580 8;
  • 11) 0,614 152 037 580 8 × 2 = 1 + 0,228 304 075 161 6;
  • 12) 0,228 304 075 161 6 × 2 = 0 + 0,456 608 150 323 2;
  • 13) 0,456 608 150 323 2 × 2 = 0 + 0,913 216 300 646 4;
  • 14) 0,913 216 300 646 4 × 2 = 1 + 0,826 432 601 292 8;
  • 15) 0,826 432 601 292 8 × 2 = 1 + 0,652 865 202 585 6;
  • 16) 0,652 865 202 585 6 × 2 = 1 + 0,305 730 405 171 2;
  • 17) 0,305 730 405 171 2 × 2 = 0 + 0,611 460 810 342 4;
  • 18) 0,611 460 810 342 4 × 2 = 1 + 0,222 921 620 684 8;
  • 19) 0,222 921 620 684 8 × 2 = 0 + 0,445 843 241 369 6;
  • 20) 0,445 843 241 369 6 × 2 = 0 + 0,891 686 482 739 2;
  • 21) 0,891 686 482 739 2 × 2 = 1 + 0,783 372 965 478 4;
  • 22) 0,783 372 965 478 4 × 2 = 1 + 0,566 745 930 956 8;
  • 23) 0,566 745 930 956 8 × 2 = 1 + 0,133 491 861 913 6;
  • 24) 0,133 491 861 913 6 × 2 = 0 + 0,266 983 723 827 2;
  • 25) 0,266 983 723 827 2 × 2 = 0 + 0,533 967 447 654 4;
  • 26) 0,533 967 447 654 4 × 2 = 1 + 0,067 934 895 308 8;
  • 27) 0,067 934 895 308 8 × 2 = 0 + 0,135 869 790 617 6;
  • 28) 0,135 869 790 617 6 × 2 = 0 + 0,271 739 581 235 2;
  • 29) 0,271 739 581 235 2 × 2 = 0 + 0,543 479 162 470 4;
  • 30) 0,543 479 162 470 4 × 2 = 1 + 0,086 958 324 940 8;
  • 31) 0,086 958 324 940 8 × 2 = 0 + 0,173 916 649 881 6;
  • 32) 0,173 916 649 881 6 × 2 = 0 + 0,347 833 299 763 2;
  • 33) 0,347 833 299 763 2 × 2 = 0 + 0,695 666 599 526 4;
  • 34) 0,695 666 599 526 4 × 2 = 1 + 0,391 333 199 052 8;
  • 35) 0,391 333 199 052 8 × 2 = 0 + 0,782 666 398 105 6;
  • 36) 0,782 666 398 105 6 × 2 = 1 + 0,565 332 796 211 2;
  • 37) 0,565 332 796 211 2 × 2 = 1 + 0,130 665 592 422 4;
  • 38) 0,130 665 592 422 4 × 2 = 0 + 0,261 331 184 844 8;
  • 39) 0,261 331 184 844 8 × 2 = 0 + 0,522 662 369 689 6;
  • 40) 0,522 662 369 689 6 × 2 = 1 + 0,045 324 739 379 2;
  • 41) 0,045 324 739 379 2 × 2 = 0 + 0,090 649 478 758 4;
  • 42) 0,090 649 478 758 4 × 2 = 0 + 0,181 298 957 516 8;
  • 43) 0,181 298 957 516 8 × 2 = 0 + 0,362 597 915 033 6;
  • 44) 0,362 597 915 033 6 × 2 = 0 + 0,725 195 830 067 2;
  • 45) 0,725 195 830 067 2 × 2 = 1 + 0,450 391 660 134 4;
  • 46) 0,450 391 660 134 4 × 2 = 0 + 0,900 783 320 268 8;
  • 47) 0,900 783 320 268 8 × 2 = 1 + 0,801 566 640 537 6;
  • 48) 0,801 566 640 537 6 × 2 = 1 + 0,603 133 281 075 2;
  • 49) 0,603 133 281 075 2 × 2 = 1 + 0,206 266 562 150 4;
  • 50) 0,206 266 562 150 4 × 2 = 0 + 0,412 533 124 300 8;
  • 51) 0,412 533 124 300 8 × 2 = 0 + 0,825 066 248 601 6;
  • 52) 0,825 066 248 601 6 × 2 = 1 + 0,650 132 497 203 2;
  • 53) 0,650 132 497 203 2 × 2 = 1 + 0,300 264 994 406 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,337 513 820 349 2(10) =

0,0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,337 513 820 349 2(10) =

1,0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,337 513 820 349 2(10) =

1,0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1(2) =

1,0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001 1 =

0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001


Numărul zecimal 1,337 513 820 349 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 0110 0110 0111 0100 1110 0100 0100 0101 1001 0000 1011 1001

Distribuie

» Scriere 1,337 513 820 350 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100