1,370 000 000 000 000 106 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,370 000 000 000 000 106 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,370 000 000 000 000 106 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,370 000 000 000 000 106 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,370 000 000 000 000 106 6 × 2 = 0 + 0,740 000 000 000 000 213 2;
  • 2) 0,740 000 000 000 000 213 2 × 2 = 1 + 0,480 000 000 000 000 426 4;
  • 3) 0,480 000 000 000 000 426 4 × 2 = 0 + 0,960 000 000 000 000 852 8;
  • 4) 0,960 000 000 000 000 852 8 × 2 = 1 + 0,920 000 000 000 001 705 6;
  • 5) 0,920 000 000 000 001 705 6 × 2 = 1 + 0,840 000 000 000 003 411 2;
  • 6) 0,840 000 000 000 003 411 2 × 2 = 1 + 0,680 000 000 000 006 822 4;
  • 7) 0,680 000 000 000 006 822 4 × 2 = 1 + 0,360 000 000 000 013 644 8;
  • 8) 0,360 000 000 000 013 644 8 × 2 = 0 + 0,720 000 000 000 027 289 6;
  • 9) 0,720 000 000 000 027 289 6 × 2 = 1 + 0,440 000 000 000 054 579 2;
  • 10) 0,440 000 000 000 054 579 2 × 2 = 0 + 0,880 000 000 000 109 158 4;
  • 11) 0,880 000 000 000 109 158 4 × 2 = 1 + 0,760 000 000 000 218 316 8;
  • 12) 0,760 000 000 000 218 316 8 × 2 = 1 + 0,520 000 000 000 436 633 6;
  • 13) 0,520 000 000 000 436 633 6 × 2 = 1 + 0,040 000 000 000 873 267 2;
  • 14) 0,040 000 000 000 873 267 2 × 2 = 0 + 0,080 000 000 001 746 534 4;
  • 15) 0,080 000 000 001 746 534 4 × 2 = 0 + 0,160 000 000 003 493 068 8;
  • 16) 0,160 000 000 003 493 068 8 × 2 = 0 + 0,320 000 000 006 986 137 6;
  • 17) 0,320 000 000 006 986 137 6 × 2 = 0 + 0,640 000 000 013 972 275 2;
  • 18) 0,640 000 000 013 972 275 2 × 2 = 1 + 0,280 000 000 027 944 550 4;
  • 19) 0,280 000 000 027 944 550 4 × 2 = 0 + 0,560 000 000 055 889 100 8;
  • 20) 0,560 000 000 055 889 100 8 × 2 = 1 + 0,120 000 000 111 778 201 6;
  • 21) 0,120 000 000 111 778 201 6 × 2 = 0 + 0,240 000 000 223 556 403 2;
  • 22) 0,240 000 000 223 556 403 2 × 2 = 0 + 0,480 000 000 447 112 806 4;
  • 23) 0,480 000 000 447 112 806 4 × 2 = 0 + 0,960 000 000 894 225 612 8;
  • 24) 0,960 000 000 894 225 612 8 × 2 = 1 + 0,920 000 001 788 451 225 6;
  • 25) 0,920 000 001 788 451 225 6 × 2 = 1 + 0,840 000 003 576 902 451 2;
  • 26) 0,840 000 003 576 902 451 2 × 2 = 1 + 0,680 000 007 153 804 902 4;
  • 27) 0,680 000 007 153 804 902 4 × 2 = 1 + 0,360 000 014 307 609 804 8;
  • 28) 0,360 000 014 307 609 804 8 × 2 = 0 + 0,720 000 028 615 219 609 6;
  • 29) 0,720 000 028 615 219 609 6 × 2 = 1 + 0,440 000 057 230 439 219 2;
  • 30) 0,440 000 057 230 439 219 2 × 2 = 0 + 0,880 000 114 460 878 438 4;
  • 31) 0,880 000 114 460 878 438 4 × 2 = 1 + 0,760 000 228 921 756 876 8;
  • 32) 0,760 000 228 921 756 876 8 × 2 = 1 + 0,520 000 457 843 513 753 6;
  • 33) 0,520 000 457 843 513 753 6 × 2 = 1 + 0,040 000 915 687 027 507 2;
  • 34) 0,040 000 915 687 027 507 2 × 2 = 0 + 0,080 001 831 374 055 014 4;
  • 35) 0,080 001 831 374 055 014 4 × 2 = 0 + 0,160 003 662 748 110 028 8;
  • 36) 0,160 003 662 748 110 028 8 × 2 = 0 + 0,320 007 325 496 220 057 6;
  • 37) 0,320 007 325 496 220 057 6 × 2 = 0 + 0,640 014 650 992 440 115 2;
  • 38) 0,640 014 650 992 440 115 2 × 2 = 1 + 0,280 029 301 984 880 230 4;
  • 39) 0,280 029 301 984 880 230 4 × 2 = 0 + 0,560 058 603 969 760 460 8;
  • 40) 0,560 058 603 969 760 460 8 × 2 = 1 + 0,120 117 207 939 520 921 6;
  • 41) 0,120 117 207 939 520 921 6 × 2 = 0 + 0,240 234 415 879 041 843 2;
  • 42) 0,240 234 415 879 041 843 2 × 2 = 0 + 0,480 468 831 758 083 686 4;
  • 43) 0,480 468 831 758 083 686 4 × 2 = 0 + 0,960 937 663 516 167 372 8;
  • 44) 0,960 937 663 516 167 372 8 × 2 = 1 + 0,921 875 327 032 334 745 6;
  • 45) 0,921 875 327 032 334 745 6 × 2 = 1 + 0,843 750 654 064 669 491 2;
  • 46) 0,843 750 654 064 669 491 2 × 2 = 1 + 0,687 501 308 129 338 982 4;
  • 47) 0,687 501 308 129 338 982 4 × 2 = 1 + 0,375 002 616 258 677 964 8;
  • 48) 0,375 002 616 258 677 964 8 × 2 = 0 + 0,750 005 232 517 355 929 6;
  • 49) 0,750 005 232 517 355 929 6 × 2 = 1 + 0,500 010 465 034 711 859 2;
  • 50) 0,500 010 465 034 711 859 2 × 2 = 1 + 0,000 020 930 069 423 718 4;
  • 51) 0,000 020 930 069 423 718 4 × 2 = 0 + 0,000 041 860 138 847 436 8;
  • 52) 0,000 041 860 138 847 436 8 × 2 = 0 + 0,000 083 720 277 694 873 6;
  • 53) 0,000 083 720 277 694 873 6 × 2 = 0 + 0,000 167 440 555 389 747 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,370 000 000 000 000 106 6(10) =

0,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,370 000 000 000 000 106 6(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,370 000 000 000 000 106 6(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0 =

0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


Numărul zecimal 1,370 000 000 000 000 106 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100

Distribuie

» Scriere 1,370 000 000 000 000 112 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100