1,370 000 000 000 000 106 837 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,370 000 000 000 000 106 837(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,370 000 000 000 000 106 837(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,370 000 000 000 000 106 837.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,370 000 000 000 000 106 837 × 2 = 0 + 0,740 000 000 000 000 213 674;
  • 2) 0,740 000 000 000 000 213 674 × 2 = 1 + 0,480 000 000 000 000 427 348;
  • 3) 0,480 000 000 000 000 427 348 × 2 = 0 + 0,960 000 000 000 000 854 696;
  • 4) 0,960 000 000 000 000 854 696 × 2 = 1 + 0,920 000 000 000 001 709 392;
  • 5) 0,920 000 000 000 001 709 392 × 2 = 1 + 0,840 000 000 000 003 418 784;
  • 6) 0,840 000 000 000 003 418 784 × 2 = 1 + 0,680 000 000 000 006 837 568;
  • 7) 0,680 000 000 000 006 837 568 × 2 = 1 + 0,360 000 000 000 013 675 136;
  • 8) 0,360 000 000 000 013 675 136 × 2 = 0 + 0,720 000 000 000 027 350 272;
  • 9) 0,720 000 000 000 027 350 272 × 2 = 1 + 0,440 000 000 000 054 700 544;
  • 10) 0,440 000 000 000 054 700 544 × 2 = 0 + 0,880 000 000 000 109 401 088;
  • 11) 0,880 000 000 000 109 401 088 × 2 = 1 + 0,760 000 000 000 218 802 176;
  • 12) 0,760 000 000 000 218 802 176 × 2 = 1 + 0,520 000 000 000 437 604 352;
  • 13) 0,520 000 000 000 437 604 352 × 2 = 1 + 0,040 000 000 000 875 208 704;
  • 14) 0,040 000 000 000 875 208 704 × 2 = 0 + 0,080 000 000 001 750 417 408;
  • 15) 0,080 000 000 001 750 417 408 × 2 = 0 + 0,160 000 000 003 500 834 816;
  • 16) 0,160 000 000 003 500 834 816 × 2 = 0 + 0,320 000 000 007 001 669 632;
  • 17) 0,320 000 000 007 001 669 632 × 2 = 0 + 0,640 000 000 014 003 339 264;
  • 18) 0,640 000 000 014 003 339 264 × 2 = 1 + 0,280 000 000 028 006 678 528;
  • 19) 0,280 000 000 028 006 678 528 × 2 = 0 + 0,560 000 000 056 013 357 056;
  • 20) 0,560 000 000 056 013 357 056 × 2 = 1 + 0,120 000 000 112 026 714 112;
  • 21) 0,120 000 000 112 026 714 112 × 2 = 0 + 0,240 000 000 224 053 428 224;
  • 22) 0,240 000 000 224 053 428 224 × 2 = 0 + 0,480 000 000 448 106 856 448;
  • 23) 0,480 000 000 448 106 856 448 × 2 = 0 + 0,960 000 000 896 213 712 896;
  • 24) 0,960 000 000 896 213 712 896 × 2 = 1 + 0,920 000 001 792 427 425 792;
  • 25) 0,920 000 001 792 427 425 792 × 2 = 1 + 0,840 000 003 584 854 851 584;
  • 26) 0,840 000 003 584 854 851 584 × 2 = 1 + 0,680 000 007 169 709 703 168;
  • 27) 0,680 000 007 169 709 703 168 × 2 = 1 + 0,360 000 014 339 419 406 336;
  • 28) 0,360 000 014 339 419 406 336 × 2 = 0 + 0,720 000 028 678 838 812 672;
  • 29) 0,720 000 028 678 838 812 672 × 2 = 1 + 0,440 000 057 357 677 625 344;
  • 30) 0,440 000 057 357 677 625 344 × 2 = 0 + 0,880 000 114 715 355 250 688;
  • 31) 0,880 000 114 715 355 250 688 × 2 = 1 + 0,760 000 229 430 710 501 376;
  • 32) 0,760 000 229 430 710 501 376 × 2 = 1 + 0,520 000 458 861 421 002 752;
  • 33) 0,520 000 458 861 421 002 752 × 2 = 1 + 0,040 000 917 722 842 005 504;
  • 34) 0,040 000 917 722 842 005 504 × 2 = 0 + 0,080 001 835 445 684 011 008;
  • 35) 0,080 001 835 445 684 011 008 × 2 = 0 + 0,160 003 670 891 368 022 016;
  • 36) 0,160 003 670 891 368 022 016 × 2 = 0 + 0,320 007 341 782 736 044 032;
  • 37) 0,320 007 341 782 736 044 032 × 2 = 0 + 0,640 014 683 565 472 088 064;
  • 38) 0,640 014 683 565 472 088 064 × 2 = 1 + 0,280 029 367 130 944 176 128;
  • 39) 0,280 029 367 130 944 176 128 × 2 = 0 + 0,560 058 734 261 888 352 256;
  • 40) 0,560 058 734 261 888 352 256 × 2 = 1 + 0,120 117 468 523 776 704 512;
  • 41) 0,120 117 468 523 776 704 512 × 2 = 0 + 0,240 234 937 047 553 409 024;
  • 42) 0,240 234 937 047 553 409 024 × 2 = 0 + 0,480 469 874 095 106 818 048;
  • 43) 0,480 469 874 095 106 818 048 × 2 = 0 + 0,960 939 748 190 213 636 096;
  • 44) 0,960 939 748 190 213 636 096 × 2 = 1 + 0,921 879 496 380 427 272 192;
  • 45) 0,921 879 496 380 427 272 192 × 2 = 1 + 0,843 758 992 760 854 544 384;
  • 46) 0,843 758 992 760 854 544 384 × 2 = 1 + 0,687 517 985 521 709 088 768;
  • 47) 0,687 517 985 521 709 088 768 × 2 = 1 + 0,375 035 971 043 418 177 536;
  • 48) 0,375 035 971 043 418 177 536 × 2 = 0 + 0,750 071 942 086 836 355 072;
  • 49) 0,750 071 942 086 836 355 072 × 2 = 1 + 0,500 143 884 173 672 710 144;
  • 50) 0,500 143 884 173 672 710 144 × 2 = 1 + 0,000 287 768 347 345 420 288;
  • 51) 0,000 287 768 347 345 420 288 × 2 = 0 + 0,000 575 536 694 690 840 576;
  • 52) 0,000 575 536 694 690 840 576 × 2 = 0 + 0,001 151 073 389 381 681 152;
  • 53) 0,001 151 073 389 381 681 152 × 2 = 0 + 0,002 302 146 778 763 362 304;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,370 000 000 000 000 106 837(10) =

0,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,370 000 000 000 000 106 837(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,370 000 000 000 000 106 837(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0 =

0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


Numărul zecimal 1,370 000 000 000 000 106 837 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100

» Scriere 1,370 000 000 000 000 106 833 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100