1,414 213 562 373 095 048 801 635 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 635(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,414 213 562 373 095 048 801 635(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,414 213 562 373 095 048 801 635.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,414 213 562 373 095 048 801 635 × 2 = 0 + 0,828 427 124 746 190 097 603 27;
  • 2) 0,828 427 124 746 190 097 603 27 × 2 = 1 + 0,656 854 249 492 380 195 206 54;
  • 3) 0,656 854 249 492 380 195 206 54 × 2 = 1 + 0,313 708 498 984 760 390 413 08;
  • 4) 0,313 708 498 984 760 390 413 08 × 2 = 0 + 0,627 416 997 969 520 780 826 16;
  • 5) 0,627 416 997 969 520 780 826 16 × 2 = 1 + 0,254 833 995 939 041 561 652 32;
  • 6) 0,254 833 995 939 041 561 652 32 × 2 = 0 + 0,509 667 991 878 083 123 304 64;
  • 7) 0,509 667 991 878 083 123 304 64 × 2 = 1 + 0,019 335 983 756 166 246 609 28;
  • 8) 0,019 335 983 756 166 246 609 28 × 2 = 0 + 0,038 671 967 512 332 493 218 56;
  • 9) 0,038 671 967 512 332 493 218 56 × 2 = 0 + 0,077 343 935 024 664 986 437 12;
  • 10) 0,077 343 935 024 664 986 437 12 × 2 = 0 + 0,154 687 870 049 329 972 874 24;
  • 11) 0,154 687 870 049 329 972 874 24 × 2 = 0 + 0,309 375 740 098 659 945 748 48;
  • 12) 0,309 375 740 098 659 945 748 48 × 2 = 0 + 0,618 751 480 197 319 891 496 96;
  • 13) 0,618 751 480 197 319 891 496 96 × 2 = 1 + 0,237 502 960 394 639 782 993 92;
  • 14) 0,237 502 960 394 639 782 993 92 × 2 = 0 + 0,475 005 920 789 279 565 987 84;
  • 15) 0,475 005 920 789 279 565 987 84 × 2 = 0 + 0,950 011 841 578 559 131 975 68;
  • 16) 0,950 011 841 578 559 131 975 68 × 2 = 1 + 0,900 023 683 157 118 263 951 36;
  • 17) 0,900 023 683 157 118 263 951 36 × 2 = 1 + 0,800 047 366 314 236 527 902 72;
  • 18) 0,800 047 366 314 236 527 902 72 × 2 = 1 + 0,600 094 732 628 473 055 805 44;
  • 19) 0,600 094 732 628 473 055 805 44 × 2 = 1 + 0,200 189 465 256 946 111 610 88;
  • 20) 0,200 189 465 256 946 111 610 88 × 2 = 0 + 0,400 378 930 513 892 223 221 76;
  • 21) 0,400 378 930 513 892 223 221 76 × 2 = 0 + 0,800 757 861 027 784 446 443 52;
  • 22) 0,800 757 861 027 784 446 443 52 × 2 = 1 + 0,601 515 722 055 568 892 887 04;
  • 23) 0,601 515 722 055 568 892 887 04 × 2 = 1 + 0,203 031 444 111 137 785 774 08;
  • 24) 0,203 031 444 111 137 785 774 08 × 2 = 0 + 0,406 062 888 222 275 571 548 16;
  • 25) 0,406 062 888 222 275 571 548 16 × 2 = 0 + 0,812 125 776 444 551 143 096 32;
  • 26) 0,812 125 776 444 551 143 096 32 × 2 = 1 + 0,624 251 552 889 102 286 192 64;
  • 27) 0,624 251 552 889 102 286 192 64 × 2 = 1 + 0,248 503 105 778 204 572 385 28;
  • 28) 0,248 503 105 778 204 572 385 28 × 2 = 0 + 0,497 006 211 556 409 144 770 56;
  • 29) 0,497 006 211 556 409 144 770 56 × 2 = 0 + 0,994 012 423 112 818 289 541 12;
  • 30) 0,994 012 423 112 818 289 541 12 × 2 = 1 + 0,988 024 846 225 636 579 082 24;
  • 31) 0,988 024 846 225 636 579 082 24 × 2 = 1 + 0,976 049 692 451 273 158 164 48;
  • 32) 0,976 049 692 451 273 158 164 48 × 2 = 1 + 0,952 099 384 902 546 316 328 96;
  • 33) 0,952 099 384 902 546 316 328 96 × 2 = 1 + 0,904 198 769 805 092 632 657 92;
  • 34) 0,904 198 769 805 092 632 657 92 × 2 = 1 + 0,808 397 539 610 185 265 315 84;
  • 35) 0,808 397 539 610 185 265 315 84 × 2 = 1 + 0,616 795 079 220 370 530 631 68;
  • 36) 0,616 795 079 220 370 530 631 68 × 2 = 1 + 0,233 590 158 440 741 061 263 36;
  • 37) 0,233 590 158 440 741 061 263 36 × 2 = 0 + 0,467 180 316 881 482 122 526 72;
  • 38) 0,467 180 316 881 482 122 526 72 × 2 = 0 + 0,934 360 633 762 964 245 053 44;
  • 39) 0,934 360 633 762 964 245 053 44 × 2 = 1 + 0,868 721 267 525 928 490 106 88;
  • 40) 0,868 721 267 525 928 490 106 88 × 2 = 1 + 0,737 442 535 051 856 980 213 76;
  • 41) 0,737 442 535 051 856 980 213 76 × 2 = 1 + 0,474 885 070 103 713 960 427 52;
  • 42) 0,474 885 070 103 713 960 427 52 × 2 = 0 + 0,949 770 140 207 427 920 855 04;
  • 43) 0,949 770 140 207 427 920 855 04 × 2 = 1 + 0,899 540 280 414 855 841 710 08;
  • 44) 0,899 540 280 414 855 841 710 08 × 2 = 1 + 0,799 080 560 829 711 683 420 16;
  • 45) 0,799 080 560 829 711 683 420 16 × 2 = 1 + 0,598 161 121 659 423 366 840 32;
  • 46) 0,598 161 121 659 423 366 840 32 × 2 = 1 + 0,196 322 243 318 846 733 680 64;
  • 47) 0,196 322 243 318 846 733 680 64 × 2 = 0 + 0,392 644 486 637 693 467 361 28;
  • 48) 0,392 644 486 637 693 467 361 28 × 2 = 0 + 0,785 288 973 275 386 934 722 56;
  • 49) 0,785 288 973 275 386 934 722 56 × 2 = 1 + 0,570 577 946 550 773 869 445 12;
  • 50) 0,570 577 946 550 773 869 445 12 × 2 = 1 + 0,141 155 893 101 547 738 890 24;
  • 51) 0,141 155 893 101 547 738 890 24 × 2 = 0 + 0,282 311 786 203 095 477 780 48;
  • 52) 0,282 311 786 203 095 477 780 48 × 2 = 0 + 0,564 623 572 406 190 955 560 96;
  • 53) 0,564 623 572 406 190 955 560 96 × 2 = 1 + 0,129 247 144 812 381 911 121 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,414 213 562 373 095 048 801 635(10) =

0,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,414 213 562 373 095 048 801 635(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,414 213 562 373 095 048 801 635(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1 =

0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


Numărul zecimal 1,414 213 562 373 095 048 801 635 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100

Distribuie

» Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 671 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100