1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61 × 2 = 0 + 0,828 427 124 746 190 097 603 377 448 419 396 157 139 343 750 753 896 146 353 359 475 981 464 956 924 214 077 701 22;
  • 2) 0,828 427 124 746 190 097 603 377 448 419 396 157 139 343 750 753 896 146 353 359 475 981 464 956 924 214 077 701 22 × 2 = 1 + 0,656 854 249 492 380 195 206 754 896 838 792 314 278 687 501 507 792 292 706 718 951 962 929 913 848 428 155 402 44;
  • 3) 0,656 854 249 492 380 195 206 754 896 838 792 314 278 687 501 507 792 292 706 718 951 962 929 913 848 428 155 402 44 × 2 = 1 + 0,313 708 498 984 760 390 413 509 793 677 584 628 557 375 003 015 584 585 413 437 903 925 859 827 696 856 310 804 88;
  • 4) 0,313 708 498 984 760 390 413 509 793 677 584 628 557 375 003 015 584 585 413 437 903 925 859 827 696 856 310 804 88 × 2 = 0 + 0,627 416 997 969 520 780 827 019 587 355 169 257 114 750 006 031 169 170 826 875 807 851 719 655 393 712 621 609 76;
  • 5) 0,627 416 997 969 520 780 827 019 587 355 169 257 114 750 006 031 169 170 826 875 807 851 719 655 393 712 621 609 76 × 2 = 1 + 0,254 833 995 939 041 561 654 039 174 710 338 514 229 500 012 062 338 341 653 751 615 703 439 310 787 425 243 219 52;
  • 6) 0,254 833 995 939 041 561 654 039 174 710 338 514 229 500 012 062 338 341 653 751 615 703 439 310 787 425 243 219 52 × 2 = 0 + 0,509 667 991 878 083 123 308 078 349 420 677 028 459 000 024 124 676 683 307 503 231 406 878 621 574 850 486 439 04;
  • 7) 0,509 667 991 878 083 123 308 078 349 420 677 028 459 000 024 124 676 683 307 503 231 406 878 621 574 850 486 439 04 × 2 = 1 + 0,019 335 983 756 166 246 616 156 698 841 354 056 918 000 048 249 353 366 615 006 462 813 757 243 149 700 972 878 08;
  • 8) 0,019 335 983 756 166 246 616 156 698 841 354 056 918 000 048 249 353 366 615 006 462 813 757 243 149 700 972 878 08 × 2 = 0 + 0,038 671 967 512 332 493 232 313 397 682 708 113 836 000 096 498 706 733 230 012 925 627 514 486 299 401 945 756 16;
  • 9) 0,038 671 967 512 332 493 232 313 397 682 708 113 836 000 096 498 706 733 230 012 925 627 514 486 299 401 945 756 16 × 2 = 0 + 0,077 343 935 024 664 986 464 626 795 365 416 227 672 000 192 997 413 466 460 025 851 255 028 972 598 803 891 512 32;
  • 10) 0,077 343 935 024 664 986 464 626 795 365 416 227 672 000 192 997 413 466 460 025 851 255 028 972 598 803 891 512 32 × 2 = 0 + 0,154 687 870 049 329 972 929 253 590 730 832 455 344 000 385 994 826 932 920 051 702 510 057 945 197 607 783 024 64;
  • 11) 0,154 687 870 049 329 972 929 253 590 730 832 455 344 000 385 994 826 932 920 051 702 510 057 945 197 607 783 024 64 × 2 = 0 + 0,309 375 740 098 659 945 858 507 181 461 664 910 688 000 771 989 653 865 840 103 405 020 115 890 395 215 566 049 28;
  • 12) 0,309 375 740 098 659 945 858 507 181 461 664 910 688 000 771 989 653 865 840 103 405 020 115 890 395 215 566 049 28 × 2 = 0 + 0,618 751 480 197 319 891 717 014 362 923 329 821 376 001 543 979 307 731 680 206 810 040 231 780 790 431 132 098 56;
  • 13) 0,618 751 480 197 319 891 717 014 362 923 329 821 376 001 543 979 307 731 680 206 810 040 231 780 790 431 132 098 56 × 2 = 1 + 0,237 502 960 394 639 783 434 028 725 846 659 642 752 003 087 958 615 463 360 413 620 080 463 561 580 862 264 197 12;
  • 14) 0,237 502 960 394 639 783 434 028 725 846 659 642 752 003 087 958 615 463 360 413 620 080 463 561 580 862 264 197 12 × 2 = 0 + 0,475 005 920 789 279 566 868 057 451 693 319 285 504 006 175 917 230 926 720 827 240 160 927 123 161 724 528 394 24;
  • 15) 0,475 005 920 789 279 566 868 057 451 693 319 285 504 006 175 917 230 926 720 827 240 160 927 123 161 724 528 394 24 × 2 = 0 + 0,950 011 841 578 559 133 736 114 903 386 638 571 008 012 351 834 461 853 441 654 480 321 854 246 323 449 056 788 48;
  • 16) 0,950 011 841 578 559 133 736 114 903 386 638 571 008 012 351 834 461 853 441 654 480 321 854 246 323 449 056 788 48 × 2 = 1 + 0,900 023 683 157 118 267 472 229 806 773 277 142 016 024 703 668 923 706 883 308 960 643 708 492 646 898 113 576 96;
  • 17) 0,900 023 683 157 118 267 472 229 806 773 277 142 016 024 703 668 923 706 883 308 960 643 708 492 646 898 113 576 96 × 2 = 1 + 0,800 047 366 314 236 534 944 459 613 546 554 284 032 049 407 337 847 413 766 617 921 287 416 985 293 796 227 153 92;
  • 18) 0,800 047 366 314 236 534 944 459 613 546 554 284 032 049 407 337 847 413 766 617 921 287 416 985 293 796 227 153 92 × 2 = 1 + 0,600 094 732 628 473 069 888 919 227 093 108 568 064 098 814 675 694 827 533 235 842 574 833 970 587 592 454 307 84;
  • 19) 0,600 094 732 628 473 069 888 919 227 093 108 568 064 098 814 675 694 827 533 235 842 574 833 970 587 592 454 307 84 × 2 = 1 + 0,200 189 465 256 946 139 777 838 454 186 217 136 128 197 629 351 389 655 066 471 685 149 667 941 175 184 908 615 68;
  • 20) 0,200 189 465 256 946 139 777 838 454 186 217 136 128 197 629 351 389 655 066 471 685 149 667 941 175 184 908 615 68 × 2 = 0 + 0,400 378 930 513 892 279 555 676 908 372 434 272 256 395 258 702 779 310 132 943 370 299 335 882 350 369 817 231 36;
  • 21) 0,400 378 930 513 892 279 555 676 908 372 434 272 256 395 258 702 779 310 132 943 370 299 335 882 350 369 817 231 36 × 2 = 0 + 0,800 757 861 027 784 559 111 353 816 744 868 544 512 790 517 405 558 620 265 886 740 598 671 764 700 739 634 462 72;
  • 22) 0,800 757 861 027 784 559 111 353 816 744 868 544 512 790 517 405 558 620 265 886 740 598 671 764 700 739 634 462 72 × 2 = 1 + 0,601 515 722 055 569 118 222 707 633 489 737 089 025 581 034 811 117 240 531 773 481 197 343 529 401 479 268 925 44;
  • 23) 0,601 515 722 055 569 118 222 707 633 489 737 089 025 581 034 811 117 240 531 773 481 197 343 529 401 479 268 925 44 × 2 = 1 + 0,203 031 444 111 138 236 445 415 266 979 474 178 051 162 069 622 234 481 063 546 962 394 687 058 802 958 537 850 88;
  • 24) 0,203 031 444 111 138 236 445 415 266 979 474 178 051 162 069 622 234 481 063 546 962 394 687 058 802 958 537 850 88 × 2 = 0 + 0,406 062 888 222 276 472 890 830 533 958 948 356 102 324 139 244 468 962 127 093 924 789 374 117 605 917 075 701 76;
  • 25) 0,406 062 888 222 276 472 890 830 533 958 948 356 102 324 139 244 468 962 127 093 924 789 374 117 605 917 075 701 76 × 2 = 0 + 0,812 125 776 444 552 945 781 661 067 917 896 712 204 648 278 488 937 924 254 187 849 578 748 235 211 834 151 403 52;
  • 26) 0,812 125 776 444 552 945 781 661 067 917 896 712 204 648 278 488 937 924 254 187 849 578 748 235 211 834 151 403 52 × 2 = 1 + 0,624 251 552 889 105 891 563 322 135 835 793 424 409 296 556 977 875 848 508 375 699 157 496 470 423 668 302 807 04;
  • 27) 0,624 251 552 889 105 891 563 322 135 835 793 424 409 296 556 977 875 848 508 375 699 157 496 470 423 668 302 807 04 × 2 = 1 + 0,248 503 105 778 211 783 126 644 271 671 586 848 818 593 113 955 751 697 016 751 398 314 992 940 847 336 605 614 08;
  • 28) 0,248 503 105 778 211 783 126 644 271 671 586 848 818 593 113 955 751 697 016 751 398 314 992 940 847 336 605 614 08 × 2 = 0 + 0,497 006 211 556 423 566 253 288 543 343 173 697 637 186 227 911 503 394 033 502 796 629 985 881 694 673 211 228 16;
  • 29) 0,497 006 211 556 423 566 253 288 543 343 173 697 637 186 227 911 503 394 033 502 796 629 985 881 694 673 211 228 16 × 2 = 0 + 0,994 012 423 112 847 132 506 577 086 686 347 395 274 372 455 823 006 788 067 005 593 259 971 763 389 346 422 456 32;
  • 30) 0,994 012 423 112 847 132 506 577 086 686 347 395 274 372 455 823 006 788 067 005 593 259 971 763 389 346 422 456 32 × 2 = 1 + 0,988 024 846 225 694 265 013 154 173 372 694 790 548 744 911 646 013 576 134 011 186 519 943 526 778 692 844 912 64;
  • 31) 0,988 024 846 225 694 265 013 154 173 372 694 790 548 744 911 646 013 576 134 011 186 519 943 526 778 692 844 912 64 × 2 = 1 + 0,976 049 692 451 388 530 026 308 346 745 389 581 097 489 823 292 027 152 268 022 373 039 887 053 557 385 689 825 28;
  • 32) 0,976 049 692 451 388 530 026 308 346 745 389 581 097 489 823 292 027 152 268 022 373 039 887 053 557 385 689 825 28 × 2 = 1 + 0,952 099 384 902 777 060 052 616 693 490 779 162 194 979 646 584 054 304 536 044 746 079 774 107 114 771 379 650 56;
  • 33) 0,952 099 384 902 777 060 052 616 693 490 779 162 194 979 646 584 054 304 536 044 746 079 774 107 114 771 379 650 56 × 2 = 1 + 0,904 198 769 805 554 120 105 233 386 981 558 324 389 959 293 168 108 609 072 089 492 159 548 214 229 542 759 301 12;
  • 34) 0,904 198 769 805 554 120 105 233 386 981 558 324 389 959 293 168 108 609 072 089 492 159 548 214 229 542 759 301 12 × 2 = 1 + 0,808 397 539 611 108 240 210 466 773 963 116 648 779 918 586 336 217 218 144 178 984 319 096 428 459 085 518 602 24;
  • 35) 0,808 397 539 611 108 240 210 466 773 963 116 648 779 918 586 336 217 218 144 178 984 319 096 428 459 085 518 602 24 × 2 = 1 + 0,616 795 079 222 216 480 420 933 547 926 233 297 559 837 172 672 434 436 288 357 968 638 192 856 918 171 037 204 48;
  • 36) 0,616 795 079 222 216 480 420 933 547 926 233 297 559 837 172 672 434 436 288 357 968 638 192 856 918 171 037 204 48 × 2 = 1 + 0,233 590 158 444 432 960 841 867 095 852 466 595 119 674 345 344 868 872 576 715 937 276 385 713 836 342 074 408 96;
  • 37) 0,233 590 158 444 432 960 841 867 095 852 466 595 119 674 345 344 868 872 576 715 937 276 385 713 836 342 074 408 96 × 2 = 0 + 0,467 180 316 888 865 921 683 734 191 704 933 190 239 348 690 689 737 745 153 431 874 552 771 427 672 684 148 817 92;
  • 38) 0,467 180 316 888 865 921 683 734 191 704 933 190 239 348 690 689 737 745 153 431 874 552 771 427 672 684 148 817 92 × 2 = 0 + 0,934 360 633 777 731 843 367 468 383 409 866 380 478 697 381 379 475 490 306 863 749 105 542 855 345 368 297 635 84;
  • 39) 0,934 360 633 777 731 843 367 468 383 409 866 380 478 697 381 379 475 490 306 863 749 105 542 855 345 368 297 635 84 × 2 = 1 + 0,868 721 267 555 463 686 734 936 766 819 732 760 957 394 762 758 950 980 613 727 498 211 085 710 690 736 595 271 68;
  • 40) 0,868 721 267 555 463 686 734 936 766 819 732 760 957 394 762 758 950 980 613 727 498 211 085 710 690 736 595 271 68 × 2 = 1 + 0,737 442 535 110 927 373 469 873 533 639 465 521 914 789 525 517 901 961 227 454 996 422 171 421 381 473 190 543 36;
  • 41) 0,737 442 535 110 927 373 469 873 533 639 465 521 914 789 525 517 901 961 227 454 996 422 171 421 381 473 190 543 36 × 2 = 1 + 0,474 885 070 221 854 746 939 747 067 278 931 043 829 579 051 035 803 922 454 909 992 844 342 842 762 946 381 086 72;
  • 42) 0,474 885 070 221 854 746 939 747 067 278 931 043 829 579 051 035 803 922 454 909 992 844 342 842 762 946 381 086 72 × 2 = 0 + 0,949 770 140 443 709 493 879 494 134 557 862 087 659 158 102 071 607 844 909 819 985 688 685 685 525 892 762 173 44;
  • 43) 0,949 770 140 443 709 493 879 494 134 557 862 087 659 158 102 071 607 844 909 819 985 688 685 685 525 892 762 173 44 × 2 = 1 + 0,899 540 280 887 418 987 758 988 269 115 724 175 318 316 204 143 215 689 819 639 971 377 371 371 051 785 524 346 88;
  • 44) 0,899 540 280 887 418 987 758 988 269 115 724 175 318 316 204 143 215 689 819 639 971 377 371 371 051 785 524 346 88 × 2 = 1 + 0,799 080 561 774 837 975 517 976 538 231 448 350 636 632 408 286 431 379 639 279 942 754 742 742 103 571 048 693 76;
  • 45) 0,799 080 561 774 837 975 517 976 538 231 448 350 636 632 408 286 431 379 639 279 942 754 742 742 103 571 048 693 76 × 2 = 1 + 0,598 161 123 549 675 951 035 953 076 462 896 701 273 264 816 572 862 759 278 559 885 509 485 484 207 142 097 387 52;
  • 46) 0,598 161 123 549 675 951 035 953 076 462 896 701 273 264 816 572 862 759 278 559 885 509 485 484 207 142 097 387 52 × 2 = 1 + 0,196 322 247 099 351 902 071 906 152 925 793 402 546 529 633 145 725 518 557 119 771 018 970 968 414 284 194 775 04;
  • 47) 0,196 322 247 099 351 902 071 906 152 925 793 402 546 529 633 145 725 518 557 119 771 018 970 968 414 284 194 775 04 × 2 = 0 + 0,392 644 494 198 703 804 143 812 305 851 586 805 093 059 266 291 451 037 114 239 542 037 941 936 828 568 389 550 08;
  • 48) 0,392 644 494 198 703 804 143 812 305 851 586 805 093 059 266 291 451 037 114 239 542 037 941 936 828 568 389 550 08 × 2 = 0 + 0,785 288 988 397 407 608 287 624 611 703 173 610 186 118 532 582 902 074 228 479 084 075 883 873 657 136 779 100 16;
  • 49) 0,785 288 988 397 407 608 287 624 611 703 173 610 186 118 532 582 902 074 228 479 084 075 883 873 657 136 779 100 16 × 2 = 1 + 0,570 577 976 794 815 216 575 249 223 406 347 220 372 237 065 165 804 148 456 958 168 151 767 747 314 273 558 200 32;
  • 50) 0,570 577 976 794 815 216 575 249 223 406 347 220 372 237 065 165 804 148 456 958 168 151 767 747 314 273 558 200 32 × 2 = 1 + 0,141 155 953 589 630 433 150 498 446 812 694 440 744 474 130 331 608 296 913 916 336 303 535 494 628 547 116 400 64;
  • 51) 0,141 155 953 589 630 433 150 498 446 812 694 440 744 474 130 331 608 296 913 916 336 303 535 494 628 547 116 400 64 × 2 = 0 + 0,282 311 907 179 260 866 300 996 893 625 388 881 488 948 260 663 216 593 827 832 672 607 070 989 257 094 232 801 28;
  • 52) 0,282 311 907 179 260 866 300 996 893 625 388 881 488 948 260 663 216 593 827 832 672 607 070 989 257 094 232 801 28 × 2 = 0 + 0,564 623 814 358 521 732 601 993 787 250 777 762 977 896 521 326 433 187 655 665 345 214 141 978 514 188 465 602 56;
  • 53) 0,564 623 814 358 521 732 601 993 787 250 777 762 977 896 521 326 433 187 655 665 345 214 141 978 514 188 465 602 56 × 2 = 1 + 0,129 247 628 717 043 465 203 987 574 501 555 525 955 793 042 652 866 375 311 330 690 428 283 957 028 376 931 205 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61(10) =

0,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1 =

0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


Numărul zecimal 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100

» Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 849 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100