1,414 213 562 373 095 048 801 689 45 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 689 45(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,414 213 562 373 095 048 801 689 45(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,414 213 562 373 095 048 801 689 45.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,414 213 562 373 095 048 801 689 45 × 2 = 0 + 0,828 427 124 746 190 097 603 378 9;
  • 2) 0,828 427 124 746 190 097 603 378 9 × 2 = 1 + 0,656 854 249 492 380 195 206 757 8;
  • 3) 0,656 854 249 492 380 195 206 757 8 × 2 = 1 + 0,313 708 498 984 760 390 413 515 6;
  • 4) 0,313 708 498 984 760 390 413 515 6 × 2 = 0 + 0,627 416 997 969 520 780 827 031 2;
  • 5) 0,627 416 997 969 520 780 827 031 2 × 2 = 1 + 0,254 833 995 939 041 561 654 062 4;
  • 6) 0,254 833 995 939 041 561 654 062 4 × 2 = 0 + 0,509 667 991 878 083 123 308 124 8;
  • 7) 0,509 667 991 878 083 123 308 124 8 × 2 = 1 + 0,019 335 983 756 166 246 616 249 6;
  • 8) 0,019 335 983 756 166 246 616 249 6 × 2 = 0 + 0,038 671 967 512 332 493 232 499 2;
  • 9) 0,038 671 967 512 332 493 232 499 2 × 2 = 0 + 0,077 343 935 024 664 986 464 998 4;
  • 10) 0,077 343 935 024 664 986 464 998 4 × 2 = 0 + 0,154 687 870 049 329 972 929 996 8;
  • 11) 0,154 687 870 049 329 972 929 996 8 × 2 = 0 + 0,309 375 740 098 659 945 859 993 6;
  • 12) 0,309 375 740 098 659 945 859 993 6 × 2 = 0 + 0,618 751 480 197 319 891 719 987 2;
  • 13) 0,618 751 480 197 319 891 719 987 2 × 2 = 1 + 0,237 502 960 394 639 783 439 974 4;
  • 14) 0,237 502 960 394 639 783 439 974 4 × 2 = 0 + 0,475 005 920 789 279 566 879 948 8;
  • 15) 0,475 005 920 789 279 566 879 948 8 × 2 = 0 + 0,950 011 841 578 559 133 759 897 6;
  • 16) 0,950 011 841 578 559 133 759 897 6 × 2 = 1 + 0,900 023 683 157 118 267 519 795 2;
  • 17) 0,900 023 683 157 118 267 519 795 2 × 2 = 1 + 0,800 047 366 314 236 535 039 590 4;
  • 18) 0,800 047 366 314 236 535 039 590 4 × 2 = 1 + 0,600 094 732 628 473 070 079 180 8;
  • 19) 0,600 094 732 628 473 070 079 180 8 × 2 = 1 + 0,200 189 465 256 946 140 158 361 6;
  • 20) 0,200 189 465 256 946 140 158 361 6 × 2 = 0 + 0,400 378 930 513 892 280 316 723 2;
  • 21) 0,400 378 930 513 892 280 316 723 2 × 2 = 0 + 0,800 757 861 027 784 560 633 446 4;
  • 22) 0,800 757 861 027 784 560 633 446 4 × 2 = 1 + 0,601 515 722 055 569 121 266 892 8;
  • 23) 0,601 515 722 055 569 121 266 892 8 × 2 = 1 + 0,203 031 444 111 138 242 533 785 6;
  • 24) 0,203 031 444 111 138 242 533 785 6 × 2 = 0 + 0,406 062 888 222 276 485 067 571 2;
  • 25) 0,406 062 888 222 276 485 067 571 2 × 2 = 0 + 0,812 125 776 444 552 970 135 142 4;
  • 26) 0,812 125 776 444 552 970 135 142 4 × 2 = 1 + 0,624 251 552 889 105 940 270 284 8;
  • 27) 0,624 251 552 889 105 940 270 284 8 × 2 = 1 + 0,248 503 105 778 211 880 540 569 6;
  • 28) 0,248 503 105 778 211 880 540 569 6 × 2 = 0 + 0,497 006 211 556 423 761 081 139 2;
  • 29) 0,497 006 211 556 423 761 081 139 2 × 2 = 0 + 0,994 012 423 112 847 522 162 278 4;
  • 30) 0,994 012 423 112 847 522 162 278 4 × 2 = 1 + 0,988 024 846 225 695 044 324 556 8;
  • 31) 0,988 024 846 225 695 044 324 556 8 × 2 = 1 + 0,976 049 692 451 390 088 649 113 6;
  • 32) 0,976 049 692 451 390 088 649 113 6 × 2 = 1 + 0,952 099 384 902 780 177 298 227 2;
  • 33) 0,952 099 384 902 780 177 298 227 2 × 2 = 1 + 0,904 198 769 805 560 354 596 454 4;
  • 34) 0,904 198 769 805 560 354 596 454 4 × 2 = 1 + 0,808 397 539 611 120 709 192 908 8;
  • 35) 0,808 397 539 611 120 709 192 908 8 × 2 = 1 + 0,616 795 079 222 241 418 385 817 6;
  • 36) 0,616 795 079 222 241 418 385 817 6 × 2 = 1 + 0,233 590 158 444 482 836 771 635 2;
  • 37) 0,233 590 158 444 482 836 771 635 2 × 2 = 0 + 0,467 180 316 888 965 673 543 270 4;
  • 38) 0,467 180 316 888 965 673 543 270 4 × 2 = 0 + 0,934 360 633 777 931 347 086 540 8;
  • 39) 0,934 360 633 777 931 347 086 540 8 × 2 = 1 + 0,868 721 267 555 862 694 173 081 6;
  • 40) 0,868 721 267 555 862 694 173 081 6 × 2 = 1 + 0,737 442 535 111 725 388 346 163 2;
  • 41) 0,737 442 535 111 725 388 346 163 2 × 2 = 1 + 0,474 885 070 223 450 776 692 326 4;
  • 42) 0,474 885 070 223 450 776 692 326 4 × 2 = 0 + 0,949 770 140 446 901 553 384 652 8;
  • 43) 0,949 770 140 446 901 553 384 652 8 × 2 = 1 + 0,899 540 280 893 803 106 769 305 6;
  • 44) 0,899 540 280 893 803 106 769 305 6 × 2 = 1 + 0,799 080 561 787 606 213 538 611 2;
  • 45) 0,799 080 561 787 606 213 538 611 2 × 2 = 1 + 0,598 161 123 575 212 427 077 222 4;
  • 46) 0,598 161 123 575 212 427 077 222 4 × 2 = 1 + 0,196 322 247 150 424 854 154 444 8;
  • 47) 0,196 322 247 150 424 854 154 444 8 × 2 = 0 + 0,392 644 494 300 849 708 308 889 6;
  • 48) 0,392 644 494 300 849 708 308 889 6 × 2 = 0 + 0,785 288 988 601 699 416 617 779 2;
  • 49) 0,785 288 988 601 699 416 617 779 2 × 2 = 1 + 0,570 577 977 203 398 833 235 558 4;
  • 50) 0,570 577 977 203 398 833 235 558 4 × 2 = 1 + 0,141 155 954 406 797 666 471 116 8;
  • 51) 0,141 155 954 406 797 666 471 116 8 × 2 = 0 + 0,282 311 908 813 595 332 942 233 6;
  • 52) 0,282 311 908 813 595 332 942 233 6 × 2 = 0 + 0,564 623 817 627 190 665 884 467 2;
  • 53) 0,564 623 817 627 190 665 884 467 2 × 2 = 1 + 0,129 247 635 254 381 331 768 934 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,414 213 562 373 095 048 801 689 45(10) =

0,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,414 213 562 373 095 048 801 689 45(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,414 213 562 373 095 048 801 689 45(10) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) =

1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100 1 =

0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100


Numărul zecimal 1,414 213 562 373 095 048 801 689 45 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0110 1010 0000 1001 1110 0110 0110 0111 1111 0011 1011 1100 1100

Distribuie

» Scriere 1,414 213 562 373 095 048 801 689 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100