1,570 796 326 794 896 619 231 321 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,570 796 326 794 896 619 231 321 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,570 796 326 794 896 619 231 321 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,570 796 326 794 896 619 231 321 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,570 796 326 794 896 619 231 321 37 × 2 = 1 + 0,141 592 653 589 793 238 462 642 74;
  • 2) 0,141 592 653 589 793 238 462 642 74 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 476 925 285 48;
  • 3) 0,283 185 307 179 586 476 925 285 48 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 850 570 96;
  • 4) 0,566 370 614 359 172 953 850 570 96 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 701 141 92;
  • 5) 0,132 741 228 718 345 907 701 141 92 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 402 283 84;
  • 6) 0,265 482 457 436 691 815 402 283 84 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 804 567 68;
  • 7) 0,530 964 914 873 383 630 804 567 68 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 609 135 36;
  • 8) 0,061 929 829 746 767 261 609 135 36 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 523 218 270 72;
  • 9) 0,123 859 659 493 534 523 218 270 72 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 046 436 541 44;
  • 10) 0,247 719 318 987 069 046 436 541 44 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 092 873 082 88;
  • 11) 0,495 438 637 974 138 092 873 082 88 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 185 746 165 76;
  • 12) 0,990 877 275 948 276 185 746 165 76 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 371 492 331 52;
  • 13) 0,981 754 551 896 552 371 492 331 52 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 742 984 663 04;
  • 14) 0,963 509 103 793 104 742 984 663 04 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 485 969 326 08;
  • 15) 0,927 018 207 586 209 485 969 326 08 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 971 938 652 16;
  • 16) 0,854 036 415 172 418 971 938 652 16 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 943 877 304 32;
  • 17) 0,708 072 830 344 837 943 877 304 32 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 887 754 608 64;
  • 18) 0,416 145 660 689 675 887 754 608 64 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 775 509 217 28;
  • 19) 0,832 291 321 379 351 775 509 217 28 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 703 551 018 434 56;
  • 20) 0,664 582 642 758 703 551 018 434 56 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 407 102 036 869 12;
  • 21) 0,329 165 285 517 407 102 036 869 12 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 814 204 073 738 24;
  • 22) 0,658 330 571 034 814 204 073 738 24 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 628 408 147 476 48;
  • 23) 0,316 661 142 069 628 408 147 476 48 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 256 816 294 952 96;
  • 24) 0,633 322 284 139 256 816 294 952 96 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 513 632 589 905 92;
  • 25) 0,266 644 568 278 513 632 589 905 92 × 2 = 0 + 0,533 289 136 557 027 265 179 811 84;
  • 26) 0,533 289 136 557 027 265 179 811 84 × 2 = 1 + 0,066 578 273 114 054 530 359 623 68;
  • 27) 0,066 578 273 114 054 530 359 623 68 × 2 = 0 + 0,133 156 546 228 109 060 719 247 36;
  • 28) 0,133 156 546 228 109 060 719 247 36 × 2 = 0 + 0,266 313 092 456 218 121 438 494 72;
  • 29) 0,266 313 092 456 218 121 438 494 72 × 2 = 0 + 0,532 626 184 912 436 242 876 989 44;
  • 30) 0,532 626 184 912 436 242 876 989 44 × 2 = 1 + 0,065 252 369 824 872 485 753 978 88;
  • 31) 0,065 252 369 824 872 485 753 978 88 × 2 = 0 + 0,130 504 739 649 744 971 507 957 76;
  • 32) 0,130 504 739 649 744 971 507 957 76 × 2 = 0 + 0,261 009 479 299 489 943 015 915 52;
  • 33) 0,261 009 479 299 489 943 015 915 52 × 2 = 0 + 0,522 018 958 598 979 886 031 831 04;
  • 34) 0,522 018 958 598 979 886 031 831 04 × 2 = 1 + 0,044 037 917 197 959 772 063 662 08;
  • 35) 0,044 037 917 197 959 772 063 662 08 × 2 = 0 + 0,088 075 834 395 919 544 127 324 16;
  • 36) 0,088 075 834 395 919 544 127 324 16 × 2 = 0 + 0,176 151 668 791 839 088 254 648 32;
  • 37) 0,176 151 668 791 839 088 254 648 32 × 2 = 0 + 0,352 303 337 583 678 176 509 296 64;
  • 38) 0,352 303 337 583 678 176 509 296 64 × 2 = 0 + 0,704 606 675 167 356 353 018 593 28;
  • 39) 0,704 606 675 167 356 353 018 593 28 × 2 = 1 + 0,409 213 350 334 712 706 037 186 56;
  • 40) 0,409 213 350 334 712 706 037 186 56 × 2 = 0 + 0,818 426 700 669 425 412 074 373 12;
  • 41) 0,818 426 700 669 425 412 074 373 12 × 2 = 1 + 0,636 853 401 338 850 824 148 746 24;
  • 42) 0,636 853 401 338 850 824 148 746 24 × 2 = 1 + 0,273 706 802 677 701 648 297 492 48;
  • 43) 0,273 706 802 677 701 648 297 492 48 × 2 = 0 + 0,547 413 605 355 403 296 594 984 96;
  • 44) 0,547 413 605 355 403 296 594 984 96 × 2 = 1 + 0,094 827 210 710 806 593 189 969 92;
  • 45) 0,094 827 210 710 806 593 189 969 92 × 2 = 0 + 0,189 654 421 421 613 186 379 939 84;
  • 46) 0,189 654 421 421 613 186 379 939 84 × 2 = 0 + 0,379 308 842 843 226 372 759 879 68;
  • 47) 0,379 308 842 843 226 372 759 879 68 × 2 = 0 + 0,758 617 685 686 452 745 519 759 36;
  • 48) 0,758 617 685 686 452 745 519 759 36 × 2 = 1 + 0,517 235 371 372 905 491 039 518 72;
  • 49) 0,517 235 371 372 905 491 039 518 72 × 2 = 1 + 0,034 470 742 745 810 982 079 037 44;
  • 50) 0,034 470 742 745 810 982 079 037 44 × 2 = 0 + 0,068 941 485 491 621 964 158 074 88;
  • 51) 0,068 941 485 491 621 964 158 074 88 × 2 = 0 + 0,137 882 970 983 243 928 316 149 76;
  • 52) 0,137 882 970 983 243 928 316 149 76 × 2 = 0 + 0,275 765 941 966 487 856 632 299 52;
  • 53) 0,275 765 941 966 487 856 632 299 52 × 2 = 0 + 0,551 531 883 932 975 713 264 599 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,570 796 326 794 896 619 231 321 37(10) =

0,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,570 796 326 794 896 619 231 321 37(10) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,570 796 326 794 896 619 231 321 37(10) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 1,570 796 326 794 896 619 231 321 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

» Scriere 1,570 796 326 794 896 619 231 320 42 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100