1,718 281 828 459 044 52 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,718 281 828 459 044 52(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,718 281 828 459 044 52(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 044 52.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 044 52 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 089 04;
  • 2) 0,436 563 656 918 089 04 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 178 08;
  • 3) 0,873 127 313 836 178 08 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 356 16;
  • 4) 0,746 254 627 672 356 16 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 712 32;
  • 5) 0,492 509 255 344 712 32 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 424 64;
  • 6) 0,985 018 510 689 424 64 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 849 28;
  • 7) 0,970 037 021 378 849 28 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 698 56;
  • 8) 0,940 074 042 757 698 56 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 397 12;
  • 9) 0,880 148 085 515 397 12 × 2 = 1 + 0,760 296 171 030 794 24;
  • 10) 0,760 296 171 030 794 24 × 2 = 1 + 0,520 592 342 061 588 48;
  • 11) 0,520 592 342 061 588 48 × 2 = 1 + 0,041 184 684 123 176 96;
  • 12) 0,041 184 684 123 176 96 × 2 = 0 + 0,082 369 368 246 353 92;
  • 13) 0,082 369 368 246 353 92 × 2 = 0 + 0,164 738 736 492 707 84;
  • 14) 0,164 738 736 492 707 84 × 2 = 0 + 0,329 477 472 985 415 68;
  • 15) 0,329 477 472 985 415 68 × 2 = 0 + 0,658 954 945 970 831 36;
  • 16) 0,658 954 945 970 831 36 × 2 = 1 + 0,317 909 891 941 662 72;
  • 17) 0,317 909 891 941 662 72 × 2 = 0 + 0,635 819 783 883 325 44;
  • 18) 0,635 819 783 883 325 44 × 2 = 1 + 0,271 639 567 766 650 88;
  • 19) 0,271 639 567 766 650 88 × 2 = 0 + 0,543 279 135 533 301 76;
  • 20) 0,543 279 135 533 301 76 × 2 = 1 + 0,086 558 271 066 603 52;
  • 21) 0,086 558 271 066 603 52 × 2 = 0 + 0,173 116 542 133 207 04;
  • 22) 0,173 116 542 133 207 04 × 2 = 0 + 0,346 233 084 266 414 08;
  • 23) 0,346 233 084 266 414 08 × 2 = 0 + 0,692 466 168 532 828 16;
  • 24) 0,692 466 168 532 828 16 × 2 = 1 + 0,384 932 337 065 656 32;
  • 25) 0,384 932 337 065 656 32 × 2 = 0 + 0,769 864 674 131 312 64;
  • 26) 0,769 864 674 131 312 64 × 2 = 1 + 0,539 729 348 262 625 28;
  • 27) 0,539 729 348 262 625 28 × 2 = 1 + 0,079 458 696 525 250 56;
  • 28) 0,079 458 696 525 250 56 × 2 = 0 + 0,158 917 393 050 501 12;
  • 29) 0,158 917 393 050 501 12 × 2 = 0 + 0,317 834 786 101 002 24;
  • 30) 0,317 834 786 101 002 24 × 2 = 0 + 0,635 669 572 202 004 48;
  • 31) 0,635 669 572 202 004 48 × 2 = 1 + 0,271 339 144 404 008 96;
  • 32) 0,271 339 144 404 008 96 × 2 = 0 + 0,542 678 288 808 017 92;
  • 33) 0,542 678 288 808 017 92 × 2 = 1 + 0,085 356 577 616 035 84;
  • 34) 0,085 356 577 616 035 84 × 2 = 0 + 0,170 713 155 232 071 68;
  • 35) 0,170 713 155 232 071 68 × 2 = 0 + 0,341 426 310 464 143 36;
  • 36) 0,341 426 310 464 143 36 × 2 = 0 + 0,682 852 620 928 286 72;
  • 37) 0,682 852 620 928 286 72 × 2 = 1 + 0,365 705 241 856 573 44;
  • 38) 0,365 705 241 856 573 44 × 2 = 0 + 0,731 410 483 713 146 88;
  • 39) 0,731 410 483 713 146 88 × 2 = 1 + 0,462 820 967 426 293 76;
  • 40) 0,462 820 967 426 293 76 × 2 = 0 + 0,925 641 934 852 587 52;
  • 41) 0,925 641 934 852 587 52 × 2 = 1 + 0,851 283 869 705 175 04;
  • 42) 0,851 283 869 705 175 04 × 2 = 1 + 0,702 567 739 410 350 08;
  • 43) 0,702 567 739 410 350 08 × 2 = 1 + 0,405 135 478 820 700 16;
  • 44) 0,405 135 478 820 700 16 × 2 = 0 + 0,810 270 957 641 400 32;
  • 45) 0,810 270 957 641 400 32 × 2 = 1 + 0,620 541 915 282 800 64;
  • 46) 0,620 541 915 282 800 64 × 2 = 1 + 0,241 083 830 565 601 28;
  • 47) 0,241 083 830 565 601 28 × 2 = 0 + 0,482 167 661 131 202 56;
  • 48) 0,482 167 661 131 202 56 × 2 = 0 + 0,964 335 322 262 405 12;
  • 49) 0,964 335 322 262 405 12 × 2 = 1 + 0,928 670 644 524 810 24;
  • 50) 0,928 670 644 524 810 24 × 2 = 1 + 0,857 341 289 049 620 48;
  • 51) 0,857 341 289 049 620 48 × 2 = 1 + 0,714 682 578 099 240 96;
  • 52) 0,714 682 578 099 240 96 × 2 = 1 + 0,429 365 156 198 481 92;
  • 53) 0,429 365 156 198 481 92 × 2 = 0 + 0,858 730 312 396 963 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 044 52(10) =

0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,718 281 828 459 044 52(10) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,718 281 828 459 044 52(10) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0(2) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111 0 =

1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111


Numărul zecimal 1,718 281 828 459 044 52 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1100 1111

Distribuie

» Scriere 1,718 281 828 459 045 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100