1,745 459 324 169 999 826 250 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 250 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 250 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 250 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 250 3 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 500 6;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 500 6 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 001 2;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 001 2 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 002 4;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 002 4 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 004 8;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 004 8 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 440 009 6;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 440 009 6 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 880 019 2;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 880 019 2 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 760 038 4;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 760 038 4 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 520 076 8;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 520 076 8 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 040 153 6;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 040 153 6 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 080 307 2;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 080 307 2 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 160 614 4;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 160 614 4 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 321 228 8;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 321 228 8 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 642 457 6;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 642 457 6 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 284 915 2;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 284 915 2 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 306 569 830 4;
  • 16) 0,211 134 402 554 306 569 830 4 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 613 139 660 8;
  • 17) 0,422 268 805 108 613 139 660 8 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 226 279 321 6;
  • 18) 0,844 537 610 217 226 279 321 6 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 452 558 643 2;
  • 19) 0,689 075 220 434 452 558 643 2 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 905 117 286 4;
  • 20) 0,378 150 440 868 905 117 286 4 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 810 234 572 8;
  • 21) 0,756 300 881 737 810 234 572 8 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 620 469 145 6;
  • 22) 0,512 601 763 475 620 469 145 6 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 240 938 291 2;
  • 23) 0,025 203 526 951 240 938 291 2 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 481 876 582 4;
  • 24) 0,050 407 053 902 481 876 582 4 × 2 = 0 + 0,100 814 107 804 963 753 164 8;
  • 25) 0,100 814 107 804 963 753 164 8 × 2 = 0 + 0,201 628 215 609 927 506 329 6;
  • 26) 0,201 628 215 609 927 506 329 6 × 2 = 0 + 0,403 256 431 219 855 012 659 2;
  • 27) 0,403 256 431 219 855 012 659 2 × 2 = 0 + 0,806 512 862 439 710 025 318 4;
  • 28) 0,806 512 862 439 710 025 318 4 × 2 = 1 + 0,613 025 724 879 420 050 636 8;
  • 29) 0,613 025 724 879 420 050 636 8 × 2 = 1 + 0,226 051 449 758 840 101 273 6;
  • 30) 0,226 051 449 758 840 101 273 6 × 2 = 0 + 0,452 102 899 517 680 202 547 2;
  • 31) 0,452 102 899 517 680 202 547 2 × 2 = 0 + 0,904 205 799 035 360 405 094 4;
  • 32) 0,904 205 799 035 360 405 094 4 × 2 = 1 + 0,808 411 598 070 720 810 188 8;
  • 33) 0,808 411 598 070 720 810 188 8 × 2 = 1 + 0,616 823 196 141 441 620 377 6;
  • 34) 0,616 823 196 141 441 620 377 6 × 2 = 1 + 0,233 646 392 282 883 240 755 2;
  • 35) 0,233 646 392 282 883 240 755 2 × 2 = 0 + 0,467 292 784 565 766 481 510 4;
  • 36) 0,467 292 784 565 766 481 510 4 × 2 = 0 + 0,934 585 569 131 532 963 020 8;
  • 37) 0,934 585 569 131 532 963 020 8 × 2 = 1 + 0,869 171 138 263 065 926 041 6;
  • 38) 0,869 171 138 263 065 926 041 6 × 2 = 1 + 0,738 342 276 526 131 852 083 2;
  • 39) 0,738 342 276 526 131 852 083 2 × 2 = 1 + 0,476 684 553 052 263 704 166 4;
  • 40) 0,476 684 553 052 263 704 166 4 × 2 = 0 + 0,953 369 106 104 527 408 332 8;
  • 41) 0,953 369 106 104 527 408 332 8 × 2 = 1 + 0,906 738 212 209 054 816 665 6;
  • 42) 0,906 738 212 209 054 816 665 6 × 2 = 1 + 0,813 476 424 418 109 633 331 2;
  • 43) 0,813 476 424 418 109 633 331 2 × 2 = 1 + 0,626 952 848 836 219 266 662 4;
  • 44) 0,626 952 848 836 219 266 662 4 × 2 = 1 + 0,253 905 697 672 438 533 324 8;
  • 45) 0,253 905 697 672 438 533 324 8 × 2 = 0 + 0,507 811 395 344 877 066 649 6;
  • 46) 0,507 811 395 344 877 066 649 6 × 2 = 1 + 0,015 622 790 689 754 133 299 2;
  • 47) 0,015 622 790 689 754 133 299 2 × 2 = 0 + 0,031 245 581 379 508 266 598 4;
  • 48) 0,031 245 581 379 508 266 598 4 × 2 = 0 + 0,062 491 162 759 016 533 196 8;
  • 49) 0,062 491 162 759 016 533 196 8 × 2 = 0 + 0,124 982 325 518 033 066 393 6;
  • 50) 0,124 982 325 518 033 066 393 6 × 2 = 0 + 0,249 964 651 036 066 132 787 2;
  • 51) 0,249 964 651 036 066 132 787 2 × 2 = 0 + 0,499 929 302 072 132 265 574 4;
  • 52) 0,499 929 302 072 132 265 574 4 × 2 = 0 + 0,999 858 604 144 264 531 148 8;
  • 53) 0,999 858 604 144 264 531 148 8 × 2 = 1 + 0,999 717 208 288 529 062 297 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 250 3(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 250 3(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 250 3(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 250 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 245 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100