1,745 459 324 169 999 826 257 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 257 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 257 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 257 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 257 6 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 515 2;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 515 2 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 030 4;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 030 4 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 060 8;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 060 8 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 121 6;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 121 6 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 440 243 2;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 440 243 2 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 880 486 4;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 880 486 4 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 760 972 8;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 760 972 8 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 521 945 6;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 521 945 6 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 043 891 2;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 043 891 2 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 087 782 4;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 087 782 4 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 175 564 8;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 175 564 8 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 351 129 6;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 351 129 6 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 702 259 2;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 702 259 2 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 404 518 4;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 404 518 4 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 306 809 036 8;
  • 16) 0,211 134 402 554 306 809 036 8 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 613 618 073 6;
  • 17) 0,422 268 805 108 613 618 073 6 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 227 236 147 2;
  • 18) 0,844 537 610 217 227 236 147 2 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 454 472 294 4;
  • 19) 0,689 075 220 434 454 472 294 4 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 908 944 588 8;
  • 20) 0,378 150 440 868 908 944 588 8 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 817 889 177 6;
  • 21) 0,756 300 881 737 817 889 177 6 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 635 778 355 2;
  • 22) 0,512 601 763 475 635 778 355 2 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 271 556 710 4;
  • 23) 0,025 203 526 951 271 556 710 4 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 543 113 420 8;
  • 24) 0,050 407 053 902 543 113 420 8 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 086 226 841 6;
  • 25) 0,100 814 107 805 086 226 841 6 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 172 453 683 2;
  • 26) 0,201 628 215 610 172 453 683 2 × 2 = 0 + 0,403 256 431 220 344 907 366 4;
  • 27) 0,403 256 431 220 344 907 366 4 × 2 = 0 + 0,806 512 862 440 689 814 732 8;
  • 28) 0,806 512 862 440 689 814 732 8 × 2 = 1 + 0,613 025 724 881 379 629 465 6;
  • 29) 0,613 025 724 881 379 629 465 6 × 2 = 1 + 0,226 051 449 762 759 258 931 2;
  • 30) 0,226 051 449 762 759 258 931 2 × 2 = 0 + 0,452 102 899 525 518 517 862 4;
  • 31) 0,452 102 899 525 518 517 862 4 × 2 = 0 + 0,904 205 799 051 037 035 724 8;
  • 32) 0,904 205 799 051 037 035 724 8 × 2 = 1 + 0,808 411 598 102 074 071 449 6;
  • 33) 0,808 411 598 102 074 071 449 6 × 2 = 1 + 0,616 823 196 204 148 142 899 2;
  • 34) 0,616 823 196 204 148 142 899 2 × 2 = 1 + 0,233 646 392 408 296 285 798 4;
  • 35) 0,233 646 392 408 296 285 798 4 × 2 = 0 + 0,467 292 784 816 592 571 596 8;
  • 36) 0,467 292 784 816 592 571 596 8 × 2 = 0 + 0,934 585 569 633 185 143 193 6;
  • 37) 0,934 585 569 633 185 143 193 6 × 2 = 1 + 0,869 171 139 266 370 286 387 2;
  • 38) 0,869 171 139 266 370 286 387 2 × 2 = 1 + 0,738 342 278 532 740 572 774 4;
  • 39) 0,738 342 278 532 740 572 774 4 × 2 = 1 + 0,476 684 557 065 481 145 548 8;
  • 40) 0,476 684 557 065 481 145 548 8 × 2 = 0 + 0,953 369 114 130 962 291 097 6;
  • 41) 0,953 369 114 130 962 291 097 6 × 2 = 1 + 0,906 738 228 261 924 582 195 2;
  • 42) 0,906 738 228 261 924 582 195 2 × 2 = 1 + 0,813 476 456 523 849 164 390 4;
  • 43) 0,813 476 456 523 849 164 390 4 × 2 = 1 + 0,626 952 913 047 698 328 780 8;
  • 44) 0,626 952 913 047 698 328 780 8 × 2 = 1 + 0,253 905 826 095 396 657 561 6;
  • 45) 0,253 905 826 095 396 657 561 6 × 2 = 0 + 0,507 811 652 190 793 315 123 2;
  • 46) 0,507 811 652 190 793 315 123 2 × 2 = 1 + 0,015 623 304 381 586 630 246 4;
  • 47) 0,015 623 304 381 586 630 246 4 × 2 = 0 + 0,031 246 608 763 173 260 492 8;
  • 48) 0,031 246 608 763 173 260 492 8 × 2 = 0 + 0,062 493 217 526 346 520 985 6;
  • 49) 0,062 493 217 526 346 520 985 6 × 2 = 0 + 0,124 986 435 052 693 041 971 2;
  • 50) 0,124 986 435 052 693 041 971 2 × 2 = 0 + 0,249 972 870 105 386 083 942 4;
  • 51) 0,249 972 870 105 386 083 942 4 × 2 = 0 + 0,499 945 740 210 772 167 884 8;
  • 52) 0,499 945 740 210 772 167 884 8 × 2 = 0 + 0,999 891 480 421 544 335 769 6;
  • 53) 0,999 891 480 421 544 335 769 6 × 2 = 1 + 0,999 782 960 843 088 671 539 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 257 6(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 257 6(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 257 6(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 257 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 253 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100