1,745 459 324 169 999 826 281 694 99 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 694 99(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 694 99(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 694 99.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 694 99 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 389 98;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 389 98 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 779 96;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 779 96 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 559 92;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 559 92 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 119 84;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 119 84 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 239 68;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 239 68 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 479 36;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 479 36 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 056 958 72;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 056 958 72 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 113 917 44;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 113 917 44 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 227 834 88;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 227 834 88 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 455 669 76;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 455 669 76 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 911 339 52;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 911 339 52 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 822 679 04;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 822 679 04 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 645 358 08;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 645 358 08 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 290 716 16;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 290 716 16 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 581 432 32;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 581 432 32 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 162 864 64;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 162 864 64 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 325 729 28;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 325 729 28 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 788 651 458 56;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 788 651 458 56 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 577 302 917 12;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 577 302 917 12 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 154 605 834 24;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 154 605 834 24 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 309 211 668 48;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 309 211 668 48 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 618 423 336 96;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 618 423 336 96 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 236 846 673 92;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 236 846 673 92 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 473 693 347 84;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 473 693 347 84 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 980 947 386 695 68;
  • 26) 0,201 628 215 610 980 947 386 695 68 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 961 894 773 391 36;
  • 27) 0,403 256 431 221 961 894 773 391 36 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 923 789 546 782 72;
  • 28) 0,806 512 862 443 923 789 546 782 72 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 847 579 093 565 44;
  • 29) 0,613 025 724 887 847 579 093 565 44 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 695 158 187 130 88;
  • 30) 0,226 051 449 775 695 158 187 130 88 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 390 316 374 261 76;
  • 31) 0,452 102 899 551 390 316 374 261 76 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 780 632 748 523 52;
  • 32) 0,904 205 799 102 780 632 748 523 52 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 561 265 497 047 04;
  • 33) 0,808 411 598 205 561 265 497 047 04 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 122 530 994 094 08;
  • 34) 0,616 823 196 411 122 530 994 094 08 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 245 061 988 188 16;
  • 35) 0,233 646 392 822 245 061 988 188 16 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 490 123 976 376 32;
  • 36) 0,467 292 785 644 490 123 976 376 32 × 2 = 0 + 0,934 585 571 288 980 247 952 752 64;
  • 37) 0,934 585 571 288 980 247 952 752 64 × 2 = 1 + 0,869 171 142 577 960 495 905 505 28;
  • 38) 0,869 171 142 577 960 495 905 505 28 × 2 = 1 + 0,738 342 285 155 920 991 811 010 56;
  • 39) 0,738 342 285 155 920 991 811 010 56 × 2 = 1 + 0,476 684 570 311 841 983 622 021 12;
  • 40) 0,476 684 570 311 841 983 622 021 12 × 2 = 0 + 0,953 369 140 623 683 967 244 042 24;
  • 41) 0,953 369 140 623 683 967 244 042 24 × 2 = 1 + 0,906 738 281 247 367 934 488 084 48;
  • 42) 0,906 738 281 247 367 934 488 084 48 × 2 = 1 + 0,813 476 562 494 735 868 976 168 96;
  • 43) 0,813 476 562 494 735 868 976 168 96 × 2 = 1 + 0,626 953 124 989 471 737 952 337 92;
  • 44) 0,626 953 124 989 471 737 952 337 92 × 2 = 1 + 0,253 906 249 978 943 475 904 675 84;
  • 45) 0,253 906 249 978 943 475 904 675 84 × 2 = 0 + 0,507 812 499 957 886 951 809 351 68;
  • 46) 0,507 812 499 957 886 951 809 351 68 × 2 = 1 + 0,015 624 999 915 773 903 618 703 36;
  • 47) 0,015 624 999 915 773 903 618 703 36 × 2 = 0 + 0,031 249 999 831 547 807 237 406 72;
  • 48) 0,031 249 999 831 547 807 237 406 72 × 2 = 0 + 0,062 499 999 663 095 614 474 813 44;
  • 49) 0,062 499 999 663 095 614 474 813 44 × 2 = 0 + 0,124 999 999 326 191 228 949 626 88;
  • 50) 0,124 999 999 326 191 228 949 626 88 × 2 = 0 + 0,249 999 998 652 382 457 899 253 76;
  • 51) 0,249 999 998 652 382 457 899 253 76 × 2 = 0 + 0,499 999 997 304 764 915 798 507 52;
  • 52) 0,499 999 997 304 764 915 798 507 52 × 2 = 0 + 0,999 999 994 609 529 831 597 015 04;
  • 53) 0,999 999 994 609 529 831 597 015 04 × 2 = 1 + 0,999 999 989 219 059 663 194 030 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 694 99(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 694 99(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 694 99(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 694 99 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 694 64 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100