1,745 459 324 169 999 826 281 696 004 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 004(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 696 004(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 696 004.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 696 004 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 392 008;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 392 008 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 784 016;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 784 016 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 568 032;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 568 032 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 136 064;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 136 064 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 272 128;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 272 128 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 544 256;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 544 256 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 057 088 512;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 057 088 512 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 114 177 024;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 114 177 024 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 228 354 048;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 228 354 048 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 456 708 096;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 456 708 096 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 913 416 192;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 913 416 192 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 826 832 384;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 826 832 384 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 653 664 768;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 653 664 768 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 307 329 536;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 307 329 536 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 614 659 072;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 614 659 072 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 229 318 144;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 229 318 144 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 458 636 288;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 458 636 288 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 788 917 272 576;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 788 917 272 576 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 577 834 545 152;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 577 834 545 152 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 155 669 090 304;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 155 669 090 304 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 311 338 180 608;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 311 338 180 608 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 622 676 361 216;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 622 676 361 216 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 245 352 722 432;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 245 352 722 432 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 490 705 444 864;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 490 705 444 864 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 980 981 410 889 728;
  • 26) 0,201 628 215 610 980 981 410 889 728 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 961 962 821 779 456;
  • 27) 0,403 256 431 221 961 962 821 779 456 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 923 925 643 558 912;
  • 28) 0,806 512 862 443 923 925 643 558 912 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 847 851 287 117 824;
  • 29) 0,613 025 724 887 847 851 287 117 824 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 695 702 574 235 648;
  • 30) 0,226 051 449 775 695 702 574 235 648 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 391 405 148 471 296;
  • 31) 0,452 102 899 551 391 405 148 471 296 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 782 810 296 942 592;
  • 32) 0,904 205 799 102 782 810 296 942 592 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 565 620 593 885 184;
  • 33) 0,808 411 598 205 565 620 593 885 184 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 131 241 187 770 368;
  • 34) 0,616 823 196 411 131 241 187 770 368 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 262 482 375 540 736;
  • 35) 0,233 646 392 822 262 482 375 540 736 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 524 964 751 081 472;
  • 36) 0,467 292 785 644 524 964 751 081 472 × 2 = 0 + 0,934 585 571 289 049 929 502 162 944;
  • 37) 0,934 585 571 289 049 929 502 162 944 × 2 = 1 + 0,869 171 142 578 099 859 004 325 888;
  • 38) 0,869 171 142 578 099 859 004 325 888 × 2 = 1 + 0,738 342 285 156 199 718 008 651 776;
  • 39) 0,738 342 285 156 199 718 008 651 776 × 2 = 1 + 0,476 684 570 312 399 436 017 303 552;
  • 40) 0,476 684 570 312 399 436 017 303 552 × 2 = 0 + 0,953 369 140 624 798 872 034 607 104;
  • 41) 0,953 369 140 624 798 872 034 607 104 × 2 = 1 + 0,906 738 281 249 597 744 069 214 208;
  • 42) 0,906 738 281 249 597 744 069 214 208 × 2 = 1 + 0,813 476 562 499 195 488 138 428 416;
  • 43) 0,813 476 562 499 195 488 138 428 416 × 2 = 1 + 0,626 953 124 998 390 976 276 856 832;
  • 44) 0,626 953 124 998 390 976 276 856 832 × 2 = 1 + 0,253 906 249 996 781 952 553 713 664;
  • 45) 0,253 906 249 996 781 952 553 713 664 × 2 = 0 + 0,507 812 499 993 563 905 107 427 328;
  • 46) 0,507 812 499 993 563 905 107 427 328 × 2 = 1 + 0,015 624 999 987 127 810 214 854 656;
  • 47) 0,015 624 999 987 127 810 214 854 656 × 2 = 0 + 0,031 249 999 974 255 620 429 709 312;
  • 48) 0,031 249 999 974 255 620 429 709 312 × 2 = 0 + 0,062 499 999 948 511 240 859 418 624;
  • 49) 0,062 499 999 948 511 240 859 418 624 × 2 = 0 + 0,124 999 999 897 022 481 718 837 248;
  • 50) 0,124 999 999 897 022 481 718 837 248 × 2 = 0 + 0,249 999 999 794 044 963 437 674 496;
  • 51) 0,249 999 999 794 044 963 437 674 496 × 2 = 0 + 0,499 999 999 588 089 926 875 348 992;
  • 52) 0,499 999 999 588 089 926 875 348 992 × 2 = 0 + 0,999 999 999 176 179 853 750 697 984;
  • 53) 0,999 999 999 176 179 853 750 697 984 × 2 = 1 + 0,999 999 998 352 359 707 501 395 968;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 696 004(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 696 004(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 696 004(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 696 004 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 034 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100