1,745 459 324 169 999 826 281 696 027 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 027(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 696 027(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 696 027.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 696 027 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 392 054;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 392 054 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 784 108;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 784 108 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 568 216;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 568 216 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 136 432;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 136 432 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 272 864;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 272 864 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 545 728;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 545 728 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 057 091 456;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 057 091 456 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 114 182 912;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 114 182 912 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 228 365 824;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 228 365 824 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 456 731 648;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 456 731 648 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 913 463 296;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 913 463 296 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 826 926 592;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 826 926 592 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 653 853 184;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 653 853 184 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 307 706 368;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 307 706 368 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 615 412 736;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 615 412 736 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 230 825 472;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 230 825 472 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 461 650 944;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 461 650 944 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 788 923 301 888;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 788 923 301 888 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 577 846 603 776;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 577 846 603 776 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 155 693 207 552;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 155 693 207 552 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 311 386 415 104;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 311 386 415 104 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 622 772 830 208;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 622 772 830 208 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 245 545 660 416;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 245 545 660 416 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 491 091 320 832;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 491 091 320 832 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 980 982 182 641 664;
  • 26) 0,201 628 215 610 980 982 182 641 664 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 961 964 365 283 328;
  • 27) 0,403 256 431 221 961 964 365 283 328 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 923 928 730 566 656;
  • 28) 0,806 512 862 443 923 928 730 566 656 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 847 857 461 133 312;
  • 29) 0,613 025 724 887 847 857 461 133 312 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 695 714 922 266 624;
  • 30) 0,226 051 449 775 695 714 922 266 624 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 391 429 844 533 248;
  • 31) 0,452 102 899 551 391 429 844 533 248 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 782 859 689 066 496;
  • 32) 0,904 205 799 102 782 859 689 066 496 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 565 719 378 132 992;
  • 33) 0,808 411 598 205 565 719 378 132 992 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 131 438 756 265 984;
  • 34) 0,616 823 196 411 131 438 756 265 984 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 262 877 512 531 968;
  • 35) 0,233 646 392 822 262 877 512 531 968 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 525 755 025 063 936;
  • 36) 0,467 292 785 644 525 755 025 063 936 × 2 = 0 + 0,934 585 571 289 051 510 050 127 872;
  • 37) 0,934 585 571 289 051 510 050 127 872 × 2 = 1 + 0,869 171 142 578 103 020 100 255 744;
  • 38) 0,869 171 142 578 103 020 100 255 744 × 2 = 1 + 0,738 342 285 156 206 040 200 511 488;
  • 39) 0,738 342 285 156 206 040 200 511 488 × 2 = 1 + 0,476 684 570 312 412 080 401 022 976;
  • 40) 0,476 684 570 312 412 080 401 022 976 × 2 = 0 + 0,953 369 140 624 824 160 802 045 952;
  • 41) 0,953 369 140 624 824 160 802 045 952 × 2 = 1 + 0,906 738 281 249 648 321 604 091 904;
  • 42) 0,906 738 281 249 648 321 604 091 904 × 2 = 1 + 0,813 476 562 499 296 643 208 183 808;
  • 43) 0,813 476 562 499 296 643 208 183 808 × 2 = 1 + 0,626 953 124 998 593 286 416 367 616;
  • 44) 0,626 953 124 998 593 286 416 367 616 × 2 = 1 + 0,253 906 249 997 186 572 832 735 232;
  • 45) 0,253 906 249 997 186 572 832 735 232 × 2 = 0 + 0,507 812 499 994 373 145 665 470 464;
  • 46) 0,507 812 499 994 373 145 665 470 464 × 2 = 1 + 0,015 624 999 988 746 291 330 940 928;
  • 47) 0,015 624 999 988 746 291 330 940 928 × 2 = 0 + 0,031 249 999 977 492 582 661 881 856;
  • 48) 0,031 249 999 977 492 582 661 881 856 × 2 = 0 + 0,062 499 999 954 985 165 323 763 712;
  • 49) 0,062 499 999 954 985 165 323 763 712 × 2 = 0 + 0,124 999 999 909 970 330 647 527 424;
  • 50) 0,124 999 999 909 970 330 647 527 424 × 2 = 0 + 0,249 999 999 819 940 661 295 054 848;
  • 51) 0,249 999 999 819 940 661 295 054 848 × 2 = 0 + 0,499 999 999 639 881 322 590 109 696;
  • 52) 0,499 999 999 639 881 322 590 109 696 × 2 = 0 + 0,999 999 999 279 762 645 180 219 392;
  • 53) 0,999 999 999 279 762 645 180 219 392 × 2 = 1 + 0,999 999 998 559 525 290 360 438 784;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 696 027(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 696 027(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 696 027(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 696 027 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 058 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100