1,745 459 324 169 999 826 281 696 087 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 087(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 696 087(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 696 087.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 696 087 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 392 174;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 392 174 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 784 348;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 784 348 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 568 696;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 568 696 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 137 392;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 137 392 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 274 784;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 274 784 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 549 568;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 549 568 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 057 099 136;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 057 099 136 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 114 198 272;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 114 198 272 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 228 396 544;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 228 396 544 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 456 793 088;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 456 793 088 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 913 586 176;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 913 586 176 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 827 172 352;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 827 172 352 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 654 344 704;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 654 344 704 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 308 689 408;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 308 689 408 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 617 378 816;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 617 378 816 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 234 757 632;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 234 757 632 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 469 515 264;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 469 515 264 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 788 939 030 528;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 788 939 030 528 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 577 878 061 056;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 577 878 061 056 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 155 756 122 112;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 155 756 122 112 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 311 512 244 224;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 311 512 244 224 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 623 024 488 448;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 623 024 488 448 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 246 048 976 896;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 246 048 976 896 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 492 097 953 792;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 492 097 953 792 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 980 984 195 907 584;
  • 26) 0,201 628 215 610 980 984 195 907 584 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 961 968 391 815 168;
  • 27) 0,403 256 431 221 961 968 391 815 168 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 923 936 783 630 336;
  • 28) 0,806 512 862 443 923 936 783 630 336 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 847 873 567 260 672;
  • 29) 0,613 025 724 887 847 873 567 260 672 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 695 747 134 521 344;
  • 30) 0,226 051 449 775 695 747 134 521 344 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 391 494 269 042 688;
  • 31) 0,452 102 899 551 391 494 269 042 688 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 782 988 538 085 376;
  • 32) 0,904 205 799 102 782 988 538 085 376 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 565 977 076 170 752;
  • 33) 0,808 411 598 205 565 977 076 170 752 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 131 954 152 341 504;
  • 34) 0,616 823 196 411 131 954 152 341 504 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 263 908 304 683 008;
  • 35) 0,233 646 392 822 263 908 304 683 008 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 527 816 609 366 016;
  • 36) 0,467 292 785 644 527 816 609 366 016 × 2 = 0 + 0,934 585 571 289 055 633 218 732 032;
  • 37) 0,934 585 571 289 055 633 218 732 032 × 2 = 1 + 0,869 171 142 578 111 266 437 464 064;
  • 38) 0,869 171 142 578 111 266 437 464 064 × 2 = 1 + 0,738 342 285 156 222 532 874 928 128;
  • 39) 0,738 342 285 156 222 532 874 928 128 × 2 = 1 + 0,476 684 570 312 445 065 749 856 256;
  • 40) 0,476 684 570 312 445 065 749 856 256 × 2 = 0 + 0,953 369 140 624 890 131 499 712 512;
  • 41) 0,953 369 140 624 890 131 499 712 512 × 2 = 1 + 0,906 738 281 249 780 262 999 425 024;
  • 42) 0,906 738 281 249 780 262 999 425 024 × 2 = 1 + 0,813 476 562 499 560 525 998 850 048;
  • 43) 0,813 476 562 499 560 525 998 850 048 × 2 = 1 + 0,626 953 124 999 121 051 997 700 096;
  • 44) 0,626 953 124 999 121 051 997 700 096 × 2 = 1 + 0,253 906 249 998 242 103 995 400 192;
  • 45) 0,253 906 249 998 242 103 995 400 192 × 2 = 0 + 0,507 812 499 996 484 207 990 800 384;
  • 46) 0,507 812 499 996 484 207 990 800 384 × 2 = 1 + 0,015 624 999 992 968 415 981 600 768;
  • 47) 0,015 624 999 992 968 415 981 600 768 × 2 = 0 + 0,031 249 999 985 936 831 963 201 536;
  • 48) 0,031 249 999 985 936 831 963 201 536 × 2 = 0 + 0,062 499 999 971 873 663 926 403 072;
  • 49) 0,062 499 999 971 873 663 926 403 072 × 2 = 0 + 0,124 999 999 943 747 327 852 806 144;
  • 50) 0,124 999 999 943 747 327 852 806 144 × 2 = 0 + 0,249 999 999 887 494 655 705 612 288;
  • 51) 0,249 999 999 887 494 655 705 612 288 × 2 = 0 + 0,499 999 999 774 989 311 411 224 576;
  • 52) 0,499 999 999 774 989 311 411 224 576 × 2 = 0 + 0,999 999 999 549 978 622 822 449 152;
  • 53) 0,999 999 999 549 978 622 822 449 152 × 2 = 1 + 0,999 999 999 099 957 245 644 898 304;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 696 087(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 696 087(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 696 087(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000 1 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 696 087 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0000

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 696 101 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100