1,745 459 324 169 999 826 281 697 13 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 697 13(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 697 13(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 697 13.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 697 13 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 394 26;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 394 26 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 788 52;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 788 52 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 577 04;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 577 04 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 154 08;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 154 08 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 308 16;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 308 16 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 616 32;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 616 32 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 057 232 64;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 057 232 64 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 114 465 28;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 114 465 28 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 228 930 56;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 228 930 56 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 457 861 12;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 457 861 12 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 915 722 24;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 915 722 24 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 831 444 48;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 831 444 48 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 662 888 96;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 662 888 96 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 325 777 92;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 325 777 92 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 651 555 84;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 651 555 84 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 303 111 68;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 303 111 68 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 606 223 36;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 606 223 36 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 789 212 446 72;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 789 212 446 72 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 578 424 893 44;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 578 424 893 44 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 156 849 786 88;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 156 849 786 88 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 313 699 573 76;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 313 699 573 76 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 627 399 147 52;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 627 399 147 52 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 254 798 295 04;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 254 798 295 04 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 509 596 590 08;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 509 596 590 08 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 981 019 193 180 16;
  • 26) 0,201 628 215 610 981 019 193 180 16 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 962 038 386 360 32;
  • 27) 0,403 256 431 221 962 038 386 360 32 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 924 076 772 720 64;
  • 28) 0,806 512 862 443 924 076 772 720 64 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 848 153 545 441 28;
  • 29) 0,613 025 724 887 848 153 545 441 28 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 696 307 090 882 56;
  • 30) 0,226 051 449 775 696 307 090 882 56 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 392 614 181 765 12;
  • 31) 0,452 102 899 551 392 614 181 765 12 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 785 228 363 530 24;
  • 32) 0,904 205 799 102 785 228 363 530 24 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 570 456 727 060 48;
  • 33) 0,808 411 598 205 570 456 727 060 48 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 140 913 454 120 96;
  • 34) 0,616 823 196 411 140 913 454 120 96 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 281 826 908 241 92;
  • 35) 0,233 646 392 822 281 826 908 241 92 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 563 653 816 483 84;
  • 36) 0,467 292 785 644 563 653 816 483 84 × 2 = 0 + 0,934 585 571 289 127 307 632 967 68;
  • 37) 0,934 585 571 289 127 307 632 967 68 × 2 = 1 + 0,869 171 142 578 254 615 265 935 36;
  • 38) 0,869 171 142 578 254 615 265 935 36 × 2 = 1 + 0,738 342 285 156 509 230 531 870 72;
  • 39) 0,738 342 285 156 509 230 531 870 72 × 2 = 1 + 0,476 684 570 313 018 461 063 741 44;
  • 40) 0,476 684 570 313 018 461 063 741 44 × 2 = 0 + 0,953 369 140 626 036 922 127 482 88;
  • 41) 0,953 369 140 626 036 922 127 482 88 × 2 = 1 + 0,906 738 281 252 073 844 254 965 76;
  • 42) 0,906 738 281 252 073 844 254 965 76 × 2 = 1 + 0,813 476 562 504 147 688 509 931 52;
  • 43) 0,813 476 562 504 147 688 509 931 52 × 2 = 1 + 0,626 953 125 008 295 377 019 863 04;
  • 44) 0,626 953 125 008 295 377 019 863 04 × 2 = 1 + 0,253 906 250 016 590 754 039 726 08;
  • 45) 0,253 906 250 016 590 754 039 726 08 × 2 = 0 + 0,507 812 500 033 181 508 079 452 16;
  • 46) 0,507 812 500 033 181 508 079 452 16 × 2 = 1 + 0,015 625 000 066 363 016 158 904 32;
  • 47) 0,015 625 000 066 363 016 158 904 32 × 2 = 0 + 0,031 250 000 132 726 032 317 808 64;
  • 48) 0,031 250 000 132 726 032 317 808 64 × 2 = 0 + 0,062 500 000 265 452 064 635 617 28;
  • 49) 0,062 500 000 265 452 064 635 617 28 × 2 = 0 + 0,125 000 000 530 904 129 271 234 56;
  • 50) 0,125 000 000 530 904 129 271 234 56 × 2 = 0 + 0,250 000 001 061 808 258 542 469 12;
  • 51) 0,250 000 001 061 808 258 542 469 12 × 2 = 0 + 0,500 000 002 123 616 517 084 938 24;
  • 52) 0,500 000 002 123 616 517 084 938 24 × 2 = 1 + 0,000 000 004 247 233 034 169 876 48;
  • 53) 0,000 000 004 247 233 034 169 876 48 × 2 = 0 + 0,000 000 008 494 466 068 339 752 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 697 13(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 697 13(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 697 13(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 697 13 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 697 36 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100