1,745 459 324 169 999 826 281 697 74 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 697 74(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 697 74(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 697 74.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 697 74 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 395 48;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 395 48 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 790 96;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 790 96 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 581 92;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 581 92 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 163 84;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 163 84 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 327 68;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 327 68 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 028 655 36;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 028 655 36 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 057 310 72;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 057 310 72 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 114 621 44;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 114 621 44 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 229 242 88;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 229 242 88 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 458 485 76;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 458 485 76 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 916 971 52;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 916 971 52 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 833 943 04;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 833 943 04 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 667 886 08;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 667 886 08 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 335 772 16;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 335 772 16 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 598 671 544 32;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 598 671 544 32 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 197 343 088 64;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 197 343 088 64 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 394 686 177 28;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 394 686 177 28 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 789 372 354 56;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 789 372 354 56 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 578 744 709 12;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 578 744 709 12 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 157 489 418 24;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 157 489 418 24 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 314 978 836 48;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 314 978 836 48 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 629 957 672 96;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 629 957 672 96 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 259 915 345 92;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 259 915 345 92 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 519 830 691 84;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 519 830 691 84 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 981 039 661 383 68;
  • 26) 0,201 628 215 610 981 039 661 383 68 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 962 079 322 767 36;
  • 27) 0,403 256 431 221 962 079 322 767 36 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 924 158 645 534 72;
  • 28) 0,806 512 862 443 924 158 645 534 72 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 848 317 291 069 44;
  • 29) 0,613 025 724 887 848 317 291 069 44 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 696 634 582 138 88;
  • 30) 0,226 051 449 775 696 634 582 138 88 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 393 269 164 277 76;
  • 31) 0,452 102 899 551 393 269 164 277 76 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 786 538 328 555 52;
  • 32) 0,904 205 799 102 786 538 328 555 52 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 573 076 657 111 04;
  • 33) 0,808 411 598 205 573 076 657 111 04 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 146 153 314 222 08;
  • 34) 0,616 823 196 411 146 153 314 222 08 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 292 306 628 444 16;
  • 35) 0,233 646 392 822 292 306 628 444 16 × 2 = 0 + 0,467 292 785 644 584 613 256 888 32;
  • 36) 0,467 292 785 644 584 613 256 888 32 × 2 = 0 + 0,934 585 571 289 169 226 513 776 64;
  • 37) 0,934 585 571 289 169 226 513 776 64 × 2 = 1 + 0,869 171 142 578 338 453 027 553 28;
  • 38) 0,869 171 142 578 338 453 027 553 28 × 2 = 1 + 0,738 342 285 156 676 906 055 106 56;
  • 39) 0,738 342 285 156 676 906 055 106 56 × 2 = 1 + 0,476 684 570 313 353 812 110 213 12;
  • 40) 0,476 684 570 313 353 812 110 213 12 × 2 = 0 + 0,953 369 140 626 707 624 220 426 24;
  • 41) 0,953 369 140 626 707 624 220 426 24 × 2 = 1 + 0,906 738 281 253 415 248 440 852 48;
  • 42) 0,906 738 281 253 415 248 440 852 48 × 2 = 1 + 0,813 476 562 506 830 496 881 704 96;
  • 43) 0,813 476 562 506 830 496 881 704 96 × 2 = 1 + 0,626 953 125 013 660 993 763 409 92;
  • 44) 0,626 953 125 013 660 993 763 409 92 × 2 = 1 + 0,253 906 250 027 321 987 526 819 84;
  • 45) 0,253 906 250 027 321 987 526 819 84 × 2 = 0 + 0,507 812 500 054 643 975 053 639 68;
  • 46) 0,507 812 500 054 643 975 053 639 68 × 2 = 1 + 0,015 625 000 109 287 950 107 279 36;
  • 47) 0,015 625 000 109 287 950 107 279 36 × 2 = 0 + 0,031 250 000 218 575 900 214 558 72;
  • 48) 0,031 250 000 218 575 900 214 558 72 × 2 = 0 + 0,062 500 000 437 151 800 429 117 44;
  • 49) 0,062 500 000 437 151 800 429 117 44 × 2 = 0 + 0,125 000 000 874 303 600 858 234 88;
  • 50) 0,125 000 000 874 303 600 858 234 88 × 2 = 0 + 0,250 000 001 748 607 201 716 469 76;
  • 51) 0,250 000 001 748 607 201 716 469 76 × 2 = 0 + 0,500 000 003 497 214 403 432 939 52;
  • 52) 0,500 000 003 497 214 403 432 939 52 × 2 = 1 + 0,000 000 006 994 428 806 865 879 04;
  • 53) 0,000 000 006 994 428 806 865 879 04 × 2 = 0 + 0,000 000 013 988 857 613 731 758 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 697 74(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 697 74(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 697 74(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 697 74 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 697 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100