1,745 459 324 169 999 826 281 709 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 709 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 709 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 709 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 709 9 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 419 8;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 419 8 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 126 839 6;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 126 839 6 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 253 679 2;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 253 679 2 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 507 358 4;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 507 358 4 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 014 716 8;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 014 716 8 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 029 433 6;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 029 433 6 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 058 867 2;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 058 867 2 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 117 734 4;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 117 734 4 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 235 468 8;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 235 468 8 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 470 937 6;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 470 937 6 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 224 941 875 2;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 224 941 875 2 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 449 883 750 4;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 449 883 750 4 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 899 767 500 8;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 899 767 500 8 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 799 535 001 6;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 799 535 001 6 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 599 070 003 2;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 599 070 003 2 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 198 140 006 4;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 198 140 006 4 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 396 280 012 8;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 396 280 012 8 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 792 560 025 6;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 792 560 025 6 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 585 120 051 2;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 585 120 051 2 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 170 240 102 4;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 170 240 102 4 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 340 480 204 8;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 340 480 204 8 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 372 680 960 409 6;
  • 23) 0,025 203 526 951 372 680 960 409 6 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 745 361 920 819 2;
  • 24) 0,050 407 053 902 745 361 920 819 2 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 490 723 841 638 4;
  • 25) 0,100 814 107 805 490 723 841 638 4 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 981 447 683 276 8;
  • 26) 0,201 628 215 610 981 447 683 276 8 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 962 895 366 553 6;
  • 27) 0,403 256 431 221 962 895 366 553 6 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 925 790 733 107 2;
  • 28) 0,806 512 862 443 925 790 733 107 2 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 851 581 466 214 4;
  • 29) 0,613 025 724 887 851 581 466 214 4 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 703 162 932 428 8;
  • 30) 0,226 051 449 775 703 162 932 428 8 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 406 325 864 857 6;
  • 31) 0,452 102 899 551 406 325 864 857 6 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 812 651 729 715 2;
  • 32) 0,904 205 799 102 812 651 729 715 2 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 625 303 459 430 4;
  • 33) 0,808 411 598 205 625 303 459 430 4 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 250 606 918 860 8;
  • 34) 0,616 823 196 411 250 606 918 860 8 × 2 = 1 + 0,233 646 392 822 501 213 837 721 6;
  • 35) 0,233 646 392 822 501 213 837 721 6 × 2 = 0 + 0,467 292 785 645 002 427 675 443 2;
  • 36) 0,467 292 785 645 002 427 675 443 2 × 2 = 0 + 0,934 585 571 290 004 855 350 886 4;
  • 37) 0,934 585 571 290 004 855 350 886 4 × 2 = 1 + 0,869 171 142 580 009 710 701 772 8;
  • 38) 0,869 171 142 580 009 710 701 772 8 × 2 = 1 + 0,738 342 285 160 019 421 403 545 6;
  • 39) 0,738 342 285 160 019 421 403 545 6 × 2 = 1 + 0,476 684 570 320 038 842 807 091 2;
  • 40) 0,476 684 570 320 038 842 807 091 2 × 2 = 0 + 0,953 369 140 640 077 685 614 182 4;
  • 41) 0,953 369 140 640 077 685 614 182 4 × 2 = 1 + 0,906 738 281 280 155 371 228 364 8;
  • 42) 0,906 738 281 280 155 371 228 364 8 × 2 = 1 + 0,813 476 562 560 310 742 456 729 6;
  • 43) 0,813 476 562 560 310 742 456 729 6 × 2 = 1 + 0,626 953 125 120 621 484 913 459 2;
  • 44) 0,626 953 125 120 621 484 913 459 2 × 2 = 1 + 0,253 906 250 241 242 969 826 918 4;
  • 45) 0,253 906 250 241 242 969 826 918 4 × 2 = 0 + 0,507 812 500 482 485 939 653 836 8;
  • 46) 0,507 812 500 482 485 939 653 836 8 × 2 = 1 + 0,015 625 000 964 971 879 307 673 6;
  • 47) 0,015 625 000 964 971 879 307 673 6 × 2 = 0 + 0,031 250 001 929 943 758 615 347 2;
  • 48) 0,031 250 001 929 943 758 615 347 2 × 2 = 0 + 0,062 500 003 859 887 517 230 694 4;
  • 49) 0,062 500 003 859 887 517 230 694 4 × 2 = 0 + 0,125 000 007 719 775 034 461 388 8;
  • 50) 0,125 000 007 719 775 034 461 388 8 × 2 = 0 + 0,250 000 015 439 550 068 922 777 6;
  • 51) 0,250 000 015 439 550 068 922 777 6 × 2 = 0 + 0,500 000 030 879 100 137 845 555 2;
  • 52) 0,500 000 030 879 100 137 845 555 2 × 2 = 1 + 0,000 000 061 758 200 275 691 110 4;
  • 53) 0,000 000 061 758 200 275 691 110 4 × 2 = 0 + 0,000 000 123 516 400 551 382 220 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 709 9(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 709 9(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 709 9(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 709 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 715 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100