1,745 459 324 169 999 826 281 795 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 795(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 281 795(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 281 795.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 281 795 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 563 59;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 563 59 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 127 18;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 127 18 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 254 36;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 254 36 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 508 72;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 508 72 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 017 44;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 017 44 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 034 88;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 034 88 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 069 76;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 069 76 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 139 52;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 139 52 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 056 279 04;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 056 279 04 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 112 558 08;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 112 558 08 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 225 116 16;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 225 116 16 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 450 232 32;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 450 232 32 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 900 464 64;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 900 464 64 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 800 929 28;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 800 929 28 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 601 858 56;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 601 858 56 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 203 717 12;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 203 717 12 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 407 434 24;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 407 434 24 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 460 814 868 48;
  • 19) 0,689 075 220 434 460 814 868 48 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 921 629 736 96;
  • 20) 0,378 150 440 868 921 629 736 96 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 843 259 473 92;
  • 21) 0,756 300 881 737 843 259 473 92 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 686 518 947 84;
  • 22) 0,512 601 763 475 686 518 947 84 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 373 037 895 68;
  • 23) 0,025 203 526 951 373 037 895 68 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 746 075 791 36;
  • 24) 0,050 407 053 902 746 075 791 36 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 492 151 582 72;
  • 25) 0,100 814 107 805 492 151 582 72 × 2 = 0 + 0,201 628 215 610 984 303 165 44;
  • 26) 0,201 628 215 610 984 303 165 44 × 2 = 0 + 0,403 256 431 221 968 606 330 88;
  • 27) 0,403 256 431 221 968 606 330 88 × 2 = 0 + 0,806 512 862 443 937 212 661 76;
  • 28) 0,806 512 862 443 937 212 661 76 × 2 = 1 + 0,613 025 724 887 874 425 323 52;
  • 29) 0,613 025 724 887 874 425 323 52 × 2 = 1 + 0,226 051 449 775 748 850 647 04;
  • 30) 0,226 051 449 775 748 850 647 04 × 2 = 0 + 0,452 102 899 551 497 701 294 08;
  • 31) 0,452 102 899 551 497 701 294 08 × 2 = 0 + 0,904 205 799 102 995 402 588 16;
  • 32) 0,904 205 799 102 995 402 588 16 × 2 = 1 + 0,808 411 598 205 990 805 176 32;
  • 33) 0,808 411 598 205 990 805 176 32 × 2 = 1 + 0,616 823 196 411 981 610 352 64;
  • 34) 0,616 823 196 411 981 610 352 64 × 2 = 1 + 0,233 646 392 823 963 220 705 28;
  • 35) 0,233 646 392 823 963 220 705 28 × 2 = 0 + 0,467 292 785 647 926 441 410 56;
  • 36) 0,467 292 785 647 926 441 410 56 × 2 = 0 + 0,934 585 571 295 852 882 821 12;
  • 37) 0,934 585 571 295 852 882 821 12 × 2 = 1 + 0,869 171 142 591 705 765 642 24;
  • 38) 0,869 171 142 591 705 765 642 24 × 2 = 1 + 0,738 342 285 183 411 531 284 48;
  • 39) 0,738 342 285 183 411 531 284 48 × 2 = 1 + 0,476 684 570 366 823 062 568 96;
  • 40) 0,476 684 570 366 823 062 568 96 × 2 = 0 + 0,953 369 140 733 646 125 137 92;
  • 41) 0,953 369 140 733 646 125 137 92 × 2 = 1 + 0,906 738 281 467 292 250 275 84;
  • 42) 0,906 738 281 467 292 250 275 84 × 2 = 1 + 0,813 476 562 934 584 500 551 68;
  • 43) 0,813 476 562 934 584 500 551 68 × 2 = 1 + 0,626 953 125 869 169 001 103 36;
  • 44) 0,626 953 125 869 169 001 103 36 × 2 = 1 + 0,253 906 251 738 338 002 206 72;
  • 45) 0,253 906 251 738 338 002 206 72 × 2 = 0 + 0,507 812 503 476 676 004 413 44;
  • 46) 0,507 812 503 476 676 004 413 44 × 2 = 1 + 0,015 625 006 953 352 008 826 88;
  • 47) 0,015 625 006 953 352 008 826 88 × 2 = 0 + 0,031 250 013 906 704 017 653 76;
  • 48) 0,031 250 013 906 704 017 653 76 × 2 = 0 + 0,062 500 027 813 408 035 307 52;
  • 49) 0,062 500 027 813 408 035 307 52 × 2 = 0 + 0,125 000 055 626 816 070 615 04;
  • 50) 0,125 000 055 626 816 070 615 04 × 2 = 0 + 0,250 000 111 253 632 141 230 08;
  • 51) 0,250 000 111 253 632 141 230 08 × 2 = 0 + 0,500 000 222 507 264 282 460 16;
  • 52) 0,500 000 222 507 264 282 460 16 × 2 = 1 + 0,000 000 445 014 528 564 920 32;
  • 53) 0,000 000 445 014 528 564 920 32 × 2 = 0 + 0,000 000 890 029 057 129 840 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 281 795(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 281 795(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 281 795(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 281 795 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 281 775 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100