1,745 459 324 169 999 826 284 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,745 459 324 169 999 826 284 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,745 459 324 169 999 826 284 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 459 324 169 999 826 284 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 459 324 169 999 826 284 57 × 2 = 1 + 0,490 918 648 339 999 652 569 14;
  • 2) 0,490 918 648 339 999 652 569 14 × 2 = 0 + 0,981 837 296 679 999 305 138 28;
  • 3) 0,981 837 296 679 999 305 138 28 × 2 = 1 + 0,963 674 593 359 998 610 276 56;
  • 4) 0,963 674 593 359 998 610 276 56 × 2 = 1 + 0,927 349 186 719 997 220 553 12;
  • 5) 0,927 349 186 719 997 220 553 12 × 2 = 1 + 0,854 698 373 439 994 441 106 24;
  • 6) 0,854 698 373 439 994 441 106 24 × 2 = 1 + 0,709 396 746 879 988 882 212 48;
  • 7) 0,709 396 746 879 988 882 212 48 × 2 = 1 + 0,418 793 493 759 977 764 424 96;
  • 8) 0,418 793 493 759 977 764 424 96 × 2 = 0 + 0,837 586 987 519 955 528 849 92;
  • 9) 0,837 586 987 519 955 528 849 92 × 2 = 1 + 0,675 173 975 039 911 057 699 84;
  • 10) 0,675 173 975 039 911 057 699 84 × 2 = 1 + 0,350 347 950 079 822 115 399 68;
  • 11) 0,350 347 950 079 822 115 399 68 × 2 = 0 + 0,700 695 900 159 644 230 799 36;
  • 12) 0,700 695 900 159 644 230 799 36 × 2 = 1 + 0,401 391 800 319 288 461 598 72;
  • 13) 0,401 391 800 319 288 461 598 72 × 2 = 0 + 0,802 783 600 638 576 923 197 44;
  • 14) 0,802 783 600 638 576 923 197 44 × 2 = 1 + 0,605 567 201 277 153 846 394 88;
  • 15) 0,605 567 201 277 153 846 394 88 × 2 = 1 + 0,211 134 402 554 307 692 789 76;
  • 16) 0,211 134 402 554 307 692 789 76 × 2 = 0 + 0,422 268 805 108 615 385 579 52;
  • 17) 0,422 268 805 108 615 385 579 52 × 2 = 0 + 0,844 537 610 217 230 771 159 04;
  • 18) 0,844 537 610 217 230 771 159 04 × 2 = 1 + 0,689 075 220 434 461 542 318 08;
  • 19) 0,689 075 220 434 461 542 318 08 × 2 = 1 + 0,378 150 440 868 923 084 636 16;
  • 20) 0,378 150 440 868 923 084 636 16 × 2 = 0 + 0,756 300 881 737 846 169 272 32;
  • 21) 0,756 300 881 737 846 169 272 32 × 2 = 1 + 0,512 601 763 475 692 338 544 64;
  • 22) 0,512 601 763 475 692 338 544 64 × 2 = 1 + 0,025 203 526 951 384 677 089 28;
  • 23) 0,025 203 526 951 384 677 089 28 × 2 = 0 + 0,050 407 053 902 769 354 178 56;
  • 24) 0,050 407 053 902 769 354 178 56 × 2 = 0 + 0,100 814 107 805 538 708 357 12;
  • 25) 0,100 814 107 805 538 708 357 12 × 2 = 0 + 0,201 628 215 611 077 416 714 24;
  • 26) 0,201 628 215 611 077 416 714 24 × 2 = 0 + 0,403 256 431 222 154 833 428 48;
  • 27) 0,403 256 431 222 154 833 428 48 × 2 = 0 + 0,806 512 862 444 309 666 856 96;
  • 28) 0,806 512 862 444 309 666 856 96 × 2 = 1 + 0,613 025 724 888 619 333 713 92;
  • 29) 0,613 025 724 888 619 333 713 92 × 2 = 1 + 0,226 051 449 777 238 667 427 84;
  • 30) 0,226 051 449 777 238 667 427 84 × 2 = 0 + 0,452 102 899 554 477 334 855 68;
  • 31) 0,452 102 899 554 477 334 855 68 × 2 = 0 + 0,904 205 799 108 954 669 711 36;
  • 32) 0,904 205 799 108 954 669 711 36 × 2 = 1 + 0,808 411 598 217 909 339 422 72;
  • 33) 0,808 411 598 217 909 339 422 72 × 2 = 1 + 0,616 823 196 435 818 678 845 44;
  • 34) 0,616 823 196 435 818 678 845 44 × 2 = 1 + 0,233 646 392 871 637 357 690 88;
  • 35) 0,233 646 392 871 637 357 690 88 × 2 = 0 + 0,467 292 785 743 274 715 381 76;
  • 36) 0,467 292 785 743 274 715 381 76 × 2 = 0 + 0,934 585 571 486 549 430 763 52;
  • 37) 0,934 585 571 486 549 430 763 52 × 2 = 1 + 0,869 171 142 973 098 861 527 04;
  • 38) 0,869 171 142 973 098 861 527 04 × 2 = 1 + 0,738 342 285 946 197 723 054 08;
  • 39) 0,738 342 285 946 197 723 054 08 × 2 = 1 + 0,476 684 571 892 395 446 108 16;
  • 40) 0,476 684 571 892 395 446 108 16 × 2 = 0 + 0,953 369 143 784 790 892 216 32;
  • 41) 0,953 369 143 784 790 892 216 32 × 2 = 1 + 0,906 738 287 569 581 784 432 64;
  • 42) 0,906 738 287 569 581 784 432 64 × 2 = 1 + 0,813 476 575 139 163 568 865 28;
  • 43) 0,813 476 575 139 163 568 865 28 × 2 = 1 + 0,626 953 150 278 327 137 730 56;
  • 44) 0,626 953 150 278 327 137 730 56 × 2 = 1 + 0,253 906 300 556 654 275 461 12;
  • 45) 0,253 906 300 556 654 275 461 12 × 2 = 0 + 0,507 812 601 113 308 550 922 24;
  • 46) 0,507 812 601 113 308 550 922 24 × 2 = 1 + 0,015 625 202 226 617 101 844 48;
  • 47) 0,015 625 202 226 617 101 844 48 × 2 = 0 + 0,031 250 404 453 234 203 688 96;
  • 48) 0,031 250 404 453 234 203 688 96 × 2 = 0 + 0,062 500 808 906 468 407 377 92;
  • 49) 0,062 500 808 906 468 407 377 92 × 2 = 0 + 0,125 001 617 812 936 814 755 84;
  • 50) 0,125 001 617 812 936 814 755 84 × 2 = 0 + 0,250 003 235 625 873 629 511 68;
  • 51) 0,250 003 235 625 873 629 511 68 × 2 = 0 + 0,500 006 471 251 747 259 023 36;
  • 52) 0,500 006 471 251 747 259 023 36 × 2 = 1 + 0,000 012 942 503 494 518 046 72;
  • 53) 0,000 012 942 503 494 518 046 72 × 2 = 0 + 0,000 025 885 006 989 036 093 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 459 324 169 999 826 284 57(10) =

0,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,745 459 324 169 999 826 284 57(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,745 459 324 169 999 826 284 57(10) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) =

1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001 0 =

1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001


Numărul zecimal 1,745 459 324 169 999 826 284 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1110 1101 0110 0110 1100 0001 1001 1100 1110 1111 0100 0001

Distribuie

» Scriere 1,745 459 324 169 999 826 285 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100