1,749 000 206 589 698 791 504 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,749 000 206 589 698 791 504 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,749 000 206 589 698 791 504 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,749 000 206 589 698 791 504 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,749 000 206 589 698 791 504 24 × 2 = 1 + 0,498 000 413 179 397 583 008 48;
  • 2) 0,498 000 413 179 397 583 008 48 × 2 = 0 + 0,996 000 826 358 795 166 016 96;
  • 3) 0,996 000 826 358 795 166 016 96 × 2 = 1 + 0,992 001 652 717 590 332 033 92;
  • 4) 0,992 001 652 717 590 332 033 92 × 2 = 1 + 0,984 003 305 435 180 664 067 84;
  • 5) 0,984 003 305 435 180 664 067 84 × 2 = 1 + 0,968 006 610 870 361 328 135 68;
  • 6) 0,968 006 610 870 361 328 135 68 × 2 = 1 + 0,936 013 221 740 722 656 271 36;
  • 7) 0,936 013 221 740 722 656 271 36 × 2 = 1 + 0,872 026 443 481 445 312 542 72;
  • 8) 0,872 026 443 481 445 312 542 72 × 2 = 1 + 0,744 052 886 962 890 625 085 44;
  • 9) 0,744 052 886 962 890 625 085 44 × 2 = 1 + 0,488 105 773 925 781 250 170 88;
  • 10) 0,488 105 773 925 781 250 170 88 × 2 = 0 + 0,976 211 547 851 562 500 341 76;
  • 11) 0,976 211 547 851 562 500 341 76 × 2 = 1 + 0,952 423 095 703 125 000 683 52;
  • 12) 0,952 423 095 703 125 000 683 52 × 2 = 1 + 0,904 846 191 406 250 001 367 04;
  • 13) 0,904 846 191 406 250 001 367 04 × 2 = 1 + 0,809 692 382 812 500 002 734 08;
  • 14) 0,809 692 382 812 500 002 734 08 × 2 = 1 + 0,619 384 765 625 000 005 468 16;
  • 15) 0,619 384 765 625 000 005 468 16 × 2 = 1 + 0,238 769 531 250 000 010 936 32;
  • 16) 0,238 769 531 250 000 010 936 32 × 2 = 0 + 0,477 539 062 500 000 021 872 64;
  • 17) 0,477 539 062 500 000 021 872 64 × 2 = 0 + 0,955 078 125 000 000 043 745 28;
  • 18) 0,955 078 125 000 000 043 745 28 × 2 = 1 + 0,910 156 250 000 000 087 490 56;
  • 19) 0,910 156 250 000 000 087 490 56 × 2 = 1 + 0,820 312 500 000 000 174 981 12;
  • 20) 0,820 312 500 000 000 174 981 12 × 2 = 1 + 0,640 625 000 000 000 349 962 24;
  • 21) 0,640 625 000 000 000 349 962 24 × 2 = 1 + 0,281 250 000 000 000 699 924 48;
  • 22) 0,281 250 000 000 000 699 924 48 × 2 = 0 + 0,562 500 000 000 001 399 848 96;
  • 23) 0,562 500 000 000 001 399 848 96 × 2 = 1 + 0,125 000 000 000 002 799 697 92;
  • 24) 0,125 000 000 000 002 799 697 92 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 005 599 395 84;
  • 25) 0,250 000 000 000 005 599 395 84 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 011 198 791 68;
  • 26) 0,500 000 000 000 011 198 791 68 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 022 397 583 36;
  • 27) 0,000 000 000 000 022 397 583 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 044 795 166 72;
  • 28) 0,000 000 000 000 044 795 166 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 089 590 333 44;
  • 29) 0,000 000 000 000 089 590 333 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 179 180 666 88;
  • 30) 0,000 000 000 000 179 180 666 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 358 361 333 76;
  • 31) 0,000 000 000 000 358 361 333 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 716 722 667 52;
  • 32) 0,000 000 000 000 716 722 667 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 433 445 335 04;
  • 33) 0,000 000 000 001 433 445 335 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 866 890 670 08;
  • 34) 0,000 000 000 002 866 890 670 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 733 781 340 16;
  • 35) 0,000 000 000 005 733 781 340 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 011 467 562 680 32;
  • 36) 0,000 000 000 011 467 562 680 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 022 935 125 360 64;
  • 37) 0,000 000 000 022 935 125 360 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 045 870 250 721 28;
  • 38) 0,000 000 000 045 870 250 721 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 091 740 501 442 56;
  • 39) 0,000 000 000 091 740 501 442 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 183 481 002 885 12;
  • 40) 0,000 000 000 183 481 002 885 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 366 962 005 770 24;
  • 41) 0,000 000 000 366 962 005 770 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 733 924 011 540 48;
  • 42) 0,000 000 000 733 924 011 540 48 × 2 = 0 + 0,000 000 001 467 848 023 080 96;
  • 43) 0,000 000 001 467 848 023 080 96 × 2 = 0 + 0,000 000 002 935 696 046 161 92;
  • 44) 0,000 000 002 935 696 046 161 92 × 2 = 0 + 0,000 000 005 871 392 092 323 84;
  • 45) 0,000 000 005 871 392 092 323 84 × 2 = 0 + 0,000 000 011 742 784 184 647 68;
  • 46) 0,000 000 011 742 784 184 647 68 × 2 = 0 + 0,000 000 023 485 568 369 295 36;
  • 47) 0,000 000 023 485 568 369 295 36 × 2 = 0 + 0,000 000 046 971 136 738 590 72;
  • 48) 0,000 000 046 971 136 738 590 72 × 2 = 0 + 0,000 000 093 942 273 477 181 44;
  • 49) 0,000 000 093 942 273 477 181 44 × 2 = 0 + 0,000 000 187 884 546 954 362 88;
  • 50) 0,000 000 187 884 546 954 362 88 × 2 = 0 + 0,000 000 375 769 093 908 725 76;
  • 51) 0,000 000 375 769 093 908 725 76 × 2 = 0 + 0,000 000 751 538 187 817 451 52;
  • 52) 0,000 000 751 538 187 817 451 52 × 2 = 0 + 0,000 001 503 076 375 634 903 04;
  • 53) 0,000 001 503 076 375 634 903 04 × 2 = 0 + 0,000 003 006 152 751 269 806 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,749 000 206 589 698 791 504 24(10) =

0,1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,749 000 206 589 698 791 504 24(10) =

1,1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,749 000 206 589 698 791 504 24(10) =

1,1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) =

1,1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 =

1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 1,749 000 206 589 698 791 504 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 1111 1011 1110 0111 1010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000

» Scriere 1,749 000 206 589 698 791 503 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100