1,785 714 285 714 285 714 285 715 49 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,785 714 285 714 285 714 285 715 49(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,785 714 285 714 285 714 285 715 49(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,785 714 285 714 285 714 285 715 49.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,785 714 285 714 285 714 285 715 49 × 2 = 1 + 0,571 428 571 428 571 428 571 430 98;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 428 571 430 98 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 861 96;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 857 142 861 96 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 723 92;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 714 285 723 92 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 447 84;
  • 5) 0,571 428 571 428 571 428 571 447 84 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 895 68;
  • 6) 0,142 857 142 857 142 857 142 895 68 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 791 36;
  • 7) 0,285 714 285 714 285 714 285 791 36 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 582 72;
  • 8) 0,571 428 571 428 571 428 571 582 72 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 143 165 44;
  • 9) 0,142 857 142 857 142 857 143 165 44 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 286 330 88;
  • 10) 0,285 714 285 714 285 714 286 330 88 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 572 661 76;
  • 11) 0,571 428 571 428 571 428 572 661 76 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 145 323 52;
  • 12) 0,142 857 142 857 142 857 145 323 52 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 290 647 04;
  • 13) 0,285 714 285 714 285 714 290 647 04 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 581 294 08;
  • 14) 0,571 428 571 428 571 428 581 294 08 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 162 588 16;
  • 15) 0,142 857 142 857 142 857 162 588 16 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 325 176 32;
  • 16) 0,285 714 285 714 285 714 325 176 32 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 650 352 64;
  • 17) 0,571 428 571 428 571 428 650 352 64 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 300 705 28;
  • 18) 0,142 857 142 857 142 857 300 705 28 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 601 410 56;
  • 19) 0,285 714 285 714 285 714 601 410 56 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 429 202 821 12;
  • 20) 0,571 428 571 428 571 429 202 821 12 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 858 405 642 24;
  • 21) 0,142 857 142 857 142 858 405 642 24 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 716 811 284 48;
  • 22) 0,285 714 285 714 285 716 811 284 48 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 433 622 568 96;
  • 23) 0,571 428 571 428 571 433 622 568 96 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 867 245 137 92;
  • 24) 0,142 857 142 857 142 867 245 137 92 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 734 490 275 84;
  • 25) 0,285 714 285 714 285 734 490 275 84 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 468 980 551 68;
  • 26) 0,571 428 571 428 571 468 980 551 68 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 937 961 103 36;
  • 27) 0,142 857 142 857 142 937 961 103 36 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 875 922 206 72;
  • 28) 0,285 714 285 714 285 875 922 206 72 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 751 844 413 44;
  • 29) 0,571 428 571 428 571 751 844 413 44 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 143 503 688 826 88;
  • 30) 0,142 857 142 857 143 503 688 826 88 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 287 007 377 653 76;
  • 31) 0,285 714 285 714 287 007 377 653 76 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 574 014 755 307 52;
  • 32) 0,571 428 571 428 574 014 755 307 52 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 148 029 510 615 04;
  • 33) 0,142 857 142 857 148 029 510 615 04 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 296 059 021 230 08;
  • 34) 0,285 714 285 714 296 059 021 230 08 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 592 118 042 460 16;
  • 35) 0,571 428 571 428 592 118 042 460 16 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 184 236 084 920 32;
  • 36) 0,142 857 142 857 184 236 084 920 32 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 368 472 169 840 64;
  • 37) 0,285 714 285 714 368 472 169 840 64 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 736 944 339 681 28;
  • 38) 0,571 428 571 428 736 944 339 681 28 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 473 888 679 362 56;
  • 39) 0,142 857 142 857 473 888 679 362 56 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 947 777 358 725 12;
  • 40) 0,285 714 285 714 947 777 358 725 12 × 2 = 0 + 0,571 428 571 429 895 554 717 450 24;
  • 41) 0,571 428 571 429 895 554 717 450 24 × 2 = 1 + 0,142 857 142 859 791 109 434 900 48;
  • 42) 0,142 857 142 859 791 109 434 900 48 × 2 = 0 + 0,285 714 285 719 582 218 869 800 96;
  • 43) 0,285 714 285 719 582 218 869 800 96 × 2 = 0 + 0,571 428 571 439 164 437 739 601 92;
  • 44) 0,571 428 571 439 164 437 739 601 92 × 2 = 1 + 0,142 857 142 878 328 875 479 203 84;
  • 45) 0,142 857 142 878 328 875 479 203 84 × 2 = 0 + 0,285 714 285 756 657 750 958 407 68;
  • 46) 0,285 714 285 756 657 750 958 407 68 × 2 = 0 + 0,571 428 571 513 315 501 916 815 36;
  • 47) 0,571 428 571 513 315 501 916 815 36 × 2 = 1 + 0,142 857 143 026 631 003 833 630 72;
  • 48) 0,142 857 143 026 631 003 833 630 72 × 2 = 0 + 0,285 714 286 053 262 007 667 261 44;
  • 49) 0,285 714 286 053 262 007 667 261 44 × 2 = 0 + 0,571 428 572 106 524 015 334 522 88;
  • 50) 0,571 428 572 106 524 015 334 522 88 × 2 = 1 + 0,142 857 144 213 048 030 669 045 76;
  • 51) 0,142 857 144 213 048 030 669 045 76 × 2 = 0 + 0,285 714 288 426 096 061 338 091 52;
  • 52) 0,285 714 288 426 096 061 338 091 52 × 2 = 0 + 0,571 428 576 852 192 122 676 183 04;
  • 53) 0,571 428 576 852 192 122 676 183 04 × 2 = 1 + 0,142 857 153 704 384 245 352 366 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,785 714 285 714 285 714 285 715 49(10) =

0,1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,785 714 285 714 285 714 285 715 49(10) =

1,1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,785 714 285 714 285 714 285 715 49(10) =

1,1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) =

1,1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1 =

1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100


Numărul zecimal 1,785 714 285 714 285 714 285 715 49 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100

» Scriere 1,785 714 285 714 285 714 285 714 52 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100