1,932 871 231 11 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,932 871 231 11(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,932 871 231 11(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,932 871 231 11.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,932 871 231 11 × 2 = 1 + 0,865 742 462 22;
  • 2) 0,865 742 462 22 × 2 = 1 + 0,731 484 924 44;
  • 3) 0,731 484 924 44 × 2 = 1 + 0,462 969 848 88;
  • 4) 0,462 969 848 88 × 2 = 0 + 0,925 939 697 76;
  • 5) 0,925 939 697 76 × 2 = 1 + 0,851 879 395 52;
  • 6) 0,851 879 395 52 × 2 = 1 + 0,703 758 791 04;
  • 7) 0,703 758 791 04 × 2 = 1 + 0,407 517 582 08;
  • 8) 0,407 517 582 08 × 2 = 0 + 0,815 035 164 16;
  • 9) 0,815 035 164 16 × 2 = 1 + 0,630 070 328 32;
  • 10) 0,630 070 328 32 × 2 = 1 + 0,260 140 656 64;
  • 11) 0,260 140 656 64 × 2 = 0 + 0,520 281 313 28;
  • 12) 0,520 281 313 28 × 2 = 1 + 0,040 562 626 56;
  • 13) 0,040 562 626 56 × 2 = 0 + 0,081 125 253 12;
  • 14) 0,081 125 253 12 × 2 = 0 + 0,162 250 506 24;
  • 15) 0,162 250 506 24 × 2 = 0 + 0,324 501 012 48;
  • 16) 0,324 501 012 48 × 2 = 0 + 0,649 002 024 96;
  • 17) 0,649 002 024 96 × 2 = 1 + 0,298 004 049 92;
  • 18) 0,298 004 049 92 × 2 = 0 + 0,596 008 099 84;
  • 19) 0,596 008 099 84 × 2 = 1 + 0,192 016 199 68;
  • 20) 0,192 016 199 68 × 2 = 0 + 0,384 032 399 36;
  • 21) 0,384 032 399 36 × 2 = 0 + 0,768 064 798 72;
  • 22) 0,768 064 798 72 × 2 = 1 + 0,536 129 597 44;
  • 23) 0,536 129 597 44 × 2 = 1 + 0,072 259 194 88;
  • 24) 0,072 259 194 88 × 2 = 0 + 0,144 518 389 76;
  • 25) 0,144 518 389 76 × 2 = 0 + 0,289 036 779 52;
  • 26) 0,289 036 779 52 × 2 = 0 + 0,578 073 559 04;
  • 27) 0,578 073 559 04 × 2 = 1 + 0,156 147 118 08;
  • 28) 0,156 147 118 08 × 2 = 0 + 0,312 294 236 16;
  • 29) 0,312 294 236 16 × 2 = 0 + 0,624 588 472 32;
  • 30) 0,624 588 472 32 × 2 = 1 + 0,249 176 944 64;
  • 31) 0,249 176 944 64 × 2 = 0 + 0,498 353 889 28;
  • 32) 0,498 353 889 28 × 2 = 0 + 0,996 707 778 56;
  • 33) 0,996 707 778 56 × 2 = 1 + 0,993 415 557 12;
  • 34) 0,993 415 557 12 × 2 = 1 + 0,986 831 114 24;
  • 35) 0,986 831 114 24 × 2 = 1 + 0,973 662 228 48;
  • 36) 0,973 662 228 48 × 2 = 1 + 0,947 324 456 96;
  • 37) 0,947 324 456 96 × 2 = 1 + 0,894 648 913 92;
  • 38) 0,894 648 913 92 × 2 = 1 + 0,789 297 827 84;
  • 39) 0,789 297 827 84 × 2 = 1 + 0,578 595 655 68;
  • 40) 0,578 595 655 68 × 2 = 1 + 0,157 191 311 36;
  • 41) 0,157 191 311 36 × 2 = 0 + 0,314 382 622 72;
  • 42) 0,314 382 622 72 × 2 = 0 + 0,628 765 245 44;
  • 43) 0,628 765 245 44 × 2 = 1 + 0,257 530 490 88;
  • 44) 0,257 530 490 88 × 2 = 0 + 0,515 060 981 76;
  • 45) 0,515 060 981 76 × 2 = 1 + 0,030 121 963 52;
  • 46) 0,030 121 963 52 × 2 = 0 + 0,060 243 927 04;
  • 47) 0,060 243 927 04 × 2 = 0 + 0,120 487 854 08;
  • 48) 0,120 487 854 08 × 2 = 0 + 0,240 975 708 16;
  • 49) 0,240 975 708 16 × 2 = 0 + 0,481 951 416 32;
  • 50) 0,481 951 416 32 × 2 = 0 + 0,963 902 832 64;
  • 51) 0,963 902 832 64 × 2 = 1 + 0,927 805 665 28;
  • 52) 0,927 805 665 28 × 2 = 1 + 0,855 611 330 56;
  • 53) 0,855 611 330 56 × 2 = 1 + 0,711 222 661 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,932 871 231 11(10) =

0,1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,932 871 231 11(10) =

1,1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,932 871 231 11(10) =

1,1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1(2) =

1,1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011 1 =

1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011


Numărul zecimal 1,932 871 231 11 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1110 1110 1101 0000 1010 0110 0010 0100 1111 1111 0010 1000 0011

» Scriere 1,932 871 231 66 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100