10,000 000 000 000 001 776 357 305 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 10,000 000 000 000 001 776 357 305(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
10,000 000 000 000 001 776 357 305(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10(10) =

1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 001 776 357 305.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 001 776 357 305 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 552 714 61;
  • 2) 0,000 000 000 000 003 552 714 61 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 007 105 429 22;
  • 3) 0,000 000 000 000 007 105 429 22 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 014 210 858 44;
  • 4) 0,000 000 000 000 014 210 858 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 028 421 716 88;
  • 5) 0,000 000 000 000 028 421 716 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 056 843 433 76;
  • 6) 0,000 000 000 000 056 843 433 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 113 686 867 52;
  • 7) 0,000 000 000 000 113 686 867 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 227 373 735 04;
  • 8) 0,000 000 000 000 227 373 735 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 454 747 470 08;
  • 9) 0,000 000 000 000 454 747 470 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 909 494 940 16;
  • 10) 0,000 000 000 000 909 494 940 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 818 989 880 32;
  • 11) 0,000 000 000 001 818 989 880 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 637 979 760 64;
  • 12) 0,000 000 000 003 637 979 760 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 275 959 521 28;
  • 13) 0,000 000 000 007 275 959 521 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 551 919 042 56;
  • 14) 0,000 000 000 014 551 919 042 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 103 838 085 12;
  • 15) 0,000 000 000 029 103 838 085 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 207 676 170 24;
  • 16) 0,000 000 000 058 207 676 170 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 415 352 340 48;
  • 17) 0,000 000 000 116 415 352 340 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 830 704 680 96;
  • 18) 0,000 000 000 232 830 704 680 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 661 409 361 92;
  • 19) 0,000 000 000 465 661 409 361 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 931 322 818 723 84;
  • 20) 0,000 000 000 931 322 818 723 84 × 2 = 0 + 0,000 000 001 862 645 637 447 68;
  • 21) 0,000 000 001 862 645 637 447 68 × 2 = 0 + 0,000 000 003 725 291 274 895 36;
  • 22) 0,000 000 003 725 291 274 895 36 × 2 = 0 + 0,000 000 007 450 582 549 790 72;
  • 23) 0,000 000 007 450 582 549 790 72 × 2 = 0 + 0,000 000 014 901 165 099 581 44;
  • 24) 0,000 000 014 901 165 099 581 44 × 2 = 0 + 0,000 000 029 802 330 199 162 88;
  • 25) 0,000 000 029 802 330 199 162 88 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 660 398 325 76;
  • 26) 0,000 000 059 604 660 398 325 76 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 320 796 651 52;
  • 27) 0,000 000 119 209 320 796 651 52 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 641 593 303 04;
  • 28) 0,000 000 238 418 641 593 303 04 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 283 186 606 08;
  • 29) 0,000 000 476 837 283 186 606 08 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 566 373 212 16;
  • 30) 0,000 000 953 674 566 373 212 16 × 2 = 0 + 0,000 001 907 349 132 746 424 32;
  • 31) 0,000 001 907 349 132 746 424 32 × 2 = 0 + 0,000 003 814 698 265 492 848 64;
  • 32) 0,000 003 814 698 265 492 848 64 × 2 = 0 + 0,000 007 629 396 530 985 697 28;
  • 33) 0,000 007 629 396 530 985 697 28 × 2 = 0 + 0,000 015 258 793 061 971 394 56;
  • 34) 0,000 015 258 793 061 971 394 56 × 2 = 0 + 0,000 030 517 586 123 942 789 12;
  • 35) 0,000 030 517 586 123 942 789 12 × 2 = 0 + 0,000 061 035 172 247 885 578 24;
  • 36) 0,000 061 035 172 247 885 578 24 × 2 = 0 + 0,000 122 070 344 495 771 156 48;
  • 37) 0,000 122 070 344 495 771 156 48 × 2 = 0 + 0,000 244 140 688 991 542 312 96;
  • 38) 0,000 244 140 688 991 542 312 96 × 2 = 0 + 0,000 488 281 377 983 084 625 92;
  • 39) 0,000 488 281 377 983 084 625 92 × 2 = 0 + 0,000 976 562 755 966 169 251 84;
  • 40) 0,000 976 562 755 966 169 251 84 × 2 = 0 + 0,001 953 125 511 932 338 503 68;
  • 41) 0,001 953 125 511 932 338 503 68 × 2 = 0 + 0,003 906 251 023 864 677 007 36;
  • 42) 0,003 906 251 023 864 677 007 36 × 2 = 0 + 0,007 812 502 047 729 354 014 72;
  • 43) 0,007 812 502 047 729 354 014 72 × 2 = 0 + 0,015 625 004 095 458 708 029 44;
  • 44) 0,015 625 004 095 458 708 029 44 × 2 = 0 + 0,031 250 008 190 917 416 058 88;
  • 45) 0,031 250 008 190 917 416 058 88 × 2 = 0 + 0,062 500 016 381 834 832 117 76;
  • 46) 0,062 500 016 381 834 832 117 76 × 2 = 0 + 0,125 000 032 763 669 664 235 52;
  • 47) 0,125 000 032 763 669 664 235 52 × 2 = 0 + 0,250 000 065 527 339 328 471 04;
  • 48) 0,250 000 065 527 339 328 471 04 × 2 = 0 + 0,500 000 131 054 678 656 942 08;
  • 49) 0,500 000 131 054 678 656 942 08 × 2 = 1 + 0,000 000 262 109 357 313 884 16;
  • 50) 0,000 000 262 109 357 313 884 16 × 2 = 0 + 0,000 000 524 218 714 627 768 32;
  • 51) 0,000 000 524 218 714 627 768 32 × 2 = 0 + 0,000 001 048 437 429 255 536 64;
  • 52) 0,000 001 048 437 429 255 536 64 × 2 = 0 + 0,000 002 096 874 858 511 073 28;
  • 53) 0,000 002 096 874 858 511 073 28 × 2 = 0 + 0,000 004 193 749 717 022 146 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 001 776 357 305(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10,000 000 000 000 001 776 357 305(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10,000 000 000 000 001 776 357 305(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0(2) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0(2) × 20 =

1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 =

0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001


Numărul zecimal 10,000 000 000 000 001 776 357 305 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

Distribuie

» Scriere 10,000 000 000 000 001 776 357 397 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100