10,000 000 000 000 005 329 070 408 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 408(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
10,000 000 000 000 005 329 070 408(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10(10) =

1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 005 329 070 408.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 005 329 070 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 658 140 816;
  • 2) 0,000 000 000 000 010 658 140 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 021 316 281 632;
  • 3) 0,000 000 000 000 021 316 281 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 042 632 563 264;
  • 4) 0,000 000 000 000 042 632 563 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 085 265 126 528;
  • 5) 0,000 000 000 000 085 265 126 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 170 530 253 056;
  • 6) 0,000 000 000 000 170 530 253 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 341 060 506 112;
  • 7) 0,000 000 000 000 341 060 506 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 682 121 012 224;
  • 8) 0,000 000 000 000 682 121 012 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 364 242 024 448;
  • 9) 0,000 000 000 001 364 242 024 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 728 484 048 896;
  • 10) 0,000 000 000 002 728 484 048 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 456 968 097 792;
  • 11) 0,000 000 000 005 456 968 097 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 913 936 195 584;
  • 12) 0,000 000 000 010 913 936 195 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 021 827 872 391 168;
  • 13) 0,000 000 000 021 827 872 391 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 043 655 744 782 336;
  • 14) 0,000 000 000 043 655 744 782 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 087 311 489 564 672;
  • 15) 0,000 000 000 087 311 489 564 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 174 622 979 129 344;
  • 16) 0,000 000 000 174 622 979 129 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 349 245 958 258 688;
  • 17) 0,000 000 000 349 245 958 258 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 698 491 916 517 376;
  • 18) 0,000 000 000 698 491 916 517 376 × 2 = 0 + 0,000 000 001 396 983 833 034 752;
  • 19) 0,000 000 001 396 983 833 034 752 × 2 = 0 + 0,000 000 002 793 967 666 069 504;
  • 20) 0,000 000 002 793 967 666 069 504 × 2 = 0 + 0,000 000 005 587 935 332 139 008;
  • 21) 0,000 000 005 587 935 332 139 008 × 2 = 0 + 0,000 000 011 175 870 664 278 016;
  • 22) 0,000 000 011 175 870 664 278 016 × 2 = 0 + 0,000 000 022 351 741 328 556 032;
  • 23) 0,000 000 022 351 741 328 556 032 × 2 = 0 + 0,000 000 044 703 482 657 112 064;
  • 24) 0,000 000 044 703 482 657 112 064 × 2 = 0 + 0,000 000 089 406 965 314 224 128;
  • 25) 0,000 000 089 406 965 314 224 128 × 2 = 0 + 0,000 000 178 813 930 628 448 256;
  • 26) 0,000 000 178 813 930 628 448 256 × 2 = 0 + 0,000 000 357 627 861 256 896 512;
  • 27) 0,000 000 357 627 861 256 896 512 × 2 = 0 + 0,000 000 715 255 722 513 793 024;
  • 28) 0,000 000 715 255 722 513 793 024 × 2 = 0 + 0,000 001 430 511 445 027 586 048;
  • 29) 0,000 001 430 511 445 027 586 048 × 2 = 0 + 0,000 002 861 022 890 055 172 096;
  • 30) 0,000 002 861 022 890 055 172 096 × 2 = 0 + 0,000 005 722 045 780 110 344 192;
  • 31) 0,000 005 722 045 780 110 344 192 × 2 = 0 + 0,000 011 444 091 560 220 688 384;
  • 32) 0,000 011 444 091 560 220 688 384 × 2 = 0 + 0,000 022 888 183 120 441 376 768;
  • 33) 0,000 022 888 183 120 441 376 768 × 2 = 0 + 0,000 045 776 366 240 882 753 536;
  • 34) 0,000 045 776 366 240 882 753 536 × 2 = 0 + 0,000 091 552 732 481 765 507 072;
  • 35) 0,000 091 552 732 481 765 507 072 × 2 = 0 + 0,000 183 105 464 963 531 014 144;
  • 36) 0,000 183 105 464 963 531 014 144 × 2 = 0 + 0,000 366 210 929 927 062 028 288;
  • 37) 0,000 366 210 929 927 062 028 288 × 2 = 0 + 0,000 732 421 859 854 124 056 576;
  • 38) 0,000 732 421 859 854 124 056 576 × 2 = 0 + 0,001 464 843 719 708 248 113 152;
  • 39) 0,001 464 843 719 708 248 113 152 × 2 = 0 + 0,002 929 687 439 416 496 226 304;
  • 40) 0,002 929 687 439 416 496 226 304 × 2 = 0 + 0,005 859 374 878 832 992 452 608;
  • 41) 0,005 859 374 878 832 992 452 608 × 2 = 0 + 0,011 718 749 757 665 984 905 216;
  • 42) 0,011 718 749 757 665 984 905 216 × 2 = 0 + 0,023 437 499 515 331 969 810 432;
  • 43) 0,023 437 499 515 331 969 810 432 × 2 = 0 + 0,046 874 999 030 663 939 620 864;
  • 44) 0,046 874 999 030 663 939 620 864 × 2 = 0 + 0,093 749 998 061 327 879 241 728;
  • 45) 0,093 749 998 061 327 879 241 728 × 2 = 0 + 0,187 499 996 122 655 758 483 456;
  • 46) 0,187 499 996 122 655 758 483 456 × 2 = 0 + 0,374 999 992 245 311 516 966 912;
  • 47) 0,374 999 992 245 311 516 966 912 × 2 = 0 + 0,749 999 984 490 623 033 933 824;
  • 48) 0,749 999 984 490 623 033 933 824 × 2 = 1 + 0,499 999 968 981 246 067 867 648;
  • 49) 0,499 999 968 981 246 067 867 648 × 2 = 0 + 0,999 999 937 962 492 135 735 296;
  • 50) 0,999 999 937 962 492 135 735 296 × 2 = 1 + 0,999 999 875 924 984 271 470 592;
  • 51) 0,999 999 875 924 984 271 470 592 × 2 = 1 + 0,999 999 751 849 968 542 941 184;
  • 52) 0,999 999 751 849 968 542 941 184 × 2 = 1 + 0,999 999 503 699 937 085 882 368;
  • 53) 0,999 999 503 699 937 085 882 368 × 2 = 1 + 0,999 999 007 399 874 171 764 736;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 005 329 070 408(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10,000 000 000 000 005 329 070 408(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10,000 000 000 000 005 329 070 408(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2) × 20 =

1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 =

0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


Numărul zecimal 10,000 000 000 000 005 329 070 408 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

Distribuie

» Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 458 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100