10,000 000 000 000 005 329 070 422 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 422(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
10,000 000 000 000 005 329 070 422(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10(10) =

1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 005 329 070 422.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 005 329 070 422 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 658 140 844;
  • 2) 0,000 000 000 000 010 658 140 844 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 021 316 281 688;
  • 3) 0,000 000 000 000 021 316 281 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 042 632 563 376;
  • 4) 0,000 000 000 000 042 632 563 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 085 265 126 752;
  • 5) 0,000 000 000 000 085 265 126 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 170 530 253 504;
  • 6) 0,000 000 000 000 170 530 253 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 341 060 507 008;
  • 7) 0,000 000 000 000 341 060 507 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 682 121 014 016;
  • 8) 0,000 000 000 000 682 121 014 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 364 242 028 032;
  • 9) 0,000 000 000 001 364 242 028 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 728 484 056 064;
  • 10) 0,000 000 000 002 728 484 056 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 456 968 112 128;
  • 11) 0,000 000 000 005 456 968 112 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 913 936 224 256;
  • 12) 0,000 000 000 010 913 936 224 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 021 827 872 448 512;
  • 13) 0,000 000 000 021 827 872 448 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 043 655 744 897 024;
  • 14) 0,000 000 000 043 655 744 897 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 087 311 489 794 048;
  • 15) 0,000 000 000 087 311 489 794 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 174 622 979 588 096;
  • 16) 0,000 000 000 174 622 979 588 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 349 245 959 176 192;
  • 17) 0,000 000 000 349 245 959 176 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 698 491 918 352 384;
  • 18) 0,000 000 000 698 491 918 352 384 × 2 = 0 + 0,000 000 001 396 983 836 704 768;
  • 19) 0,000 000 001 396 983 836 704 768 × 2 = 0 + 0,000 000 002 793 967 673 409 536;
  • 20) 0,000 000 002 793 967 673 409 536 × 2 = 0 + 0,000 000 005 587 935 346 819 072;
  • 21) 0,000 000 005 587 935 346 819 072 × 2 = 0 + 0,000 000 011 175 870 693 638 144;
  • 22) 0,000 000 011 175 870 693 638 144 × 2 = 0 + 0,000 000 022 351 741 387 276 288;
  • 23) 0,000 000 022 351 741 387 276 288 × 2 = 0 + 0,000 000 044 703 482 774 552 576;
  • 24) 0,000 000 044 703 482 774 552 576 × 2 = 0 + 0,000 000 089 406 965 549 105 152;
  • 25) 0,000 000 089 406 965 549 105 152 × 2 = 0 + 0,000 000 178 813 931 098 210 304;
  • 26) 0,000 000 178 813 931 098 210 304 × 2 = 0 + 0,000 000 357 627 862 196 420 608;
  • 27) 0,000 000 357 627 862 196 420 608 × 2 = 0 + 0,000 000 715 255 724 392 841 216;
  • 28) 0,000 000 715 255 724 392 841 216 × 2 = 0 + 0,000 001 430 511 448 785 682 432;
  • 29) 0,000 001 430 511 448 785 682 432 × 2 = 0 + 0,000 002 861 022 897 571 364 864;
  • 30) 0,000 002 861 022 897 571 364 864 × 2 = 0 + 0,000 005 722 045 795 142 729 728;
  • 31) 0,000 005 722 045 795 142 729 728 × 2 = 0 + 0,000 011 444 091 590 285 459 456;
  • 32) 0,000 011 444 091 590 285 459 456 × 2 = 0 + 0,000 022 888 183 180 570 918 912;
  • 33) 0,000 022 888 183 180 570 918 912 × 2 = 0 + 0,000 045 776 366 361 141 837 824;
  • 34) 0,000 045 776 366 361 141 837 824 × 2 = 0 + 0,000 091 552 732 722 283 675 648;
  • 35) 0,000 091 552 732 722 283 675 648 × 2 = 0 + 0,000 183 105 465 444 567 351 296;
  • 36) 0,000 183 105 465 444 567 351 296 × 2 = 0 + 0,000 366 210 930 889 134 702 592;
  • 37) 0,000 366 210 930 889 134 702 592 × 2 = 0 + 0,000 732 421 861 778 269 405 184;
  • 38) 0,000 732 421 861 778 269 405 184 × 2 = 0 + 0,001 464 843 723 556 538 810 368;
  • 39) 0,001 464 843 723 556 538 810 368 × 2 = 0 + 0,002 929 687 447 113 077 620 736;
  • 40) 0,002 929 687 447 113 077 620 736 × 2 = 0 + 0,005 859 374 894 226 155 241 472;
  • 41) 0,005 859 374 894 226 155 241 472 × 2 = 0 + 0,011 718 749 788 452 310 482 944;
  • 42) 0,011 718 749 788 452 310 482 944 × 2 = 0 + 0,023 437 499 576 904 620 965 888;
  • 43) 0,023 437 499 576 904 620 965 888 × 2 = 0 + 0,046 874 999 153 809 241 931 776;
  • 44) 0,046 874 999 153 809 241 931 776 × 2 = 0 + 0,093 749 998 307 618 483 863 552;
  • 45) 0,093 749 998 307 618 483 863 552 × 2 = 0 + 0,187 499 996 615 236 967 727 104;
  • 46) 0,187 499 996 615 236 967 727 104 × 2 = 0 + 0,374 999 993 230 473 935 454 208;
  • 47) 0,374 999 993 230 473 935 454 208 × 2 = 0 + 0,749 999 986 460 947 870 908 416;
  • 48) 0,749 999 986 460 947 870 908 416 × 2 = 1 + 0,499 999 972 921 895 741 816 832;
  • 49) 0,499 999 972 921 895 741 816 832 × 2 = 0 + 0,999 999 945 843 791 483 633 664;
  • 50) 0,999 999 945 843 791 483 633 664 × 2 = 1 + 0,999 999 891 687 582 967 267 328;
  • 51) 0,999 999 891 687 582 967 267 328 × 2 = 1 + 0,999 999 783 375 165 934 534 656;
  • 52) 0,999 999 783 375 165 934 534 656 × 2 = 1 + 0,999 999 566 750 331 869 069 312;
  • 53) 0,999 999 566 750 331 869 069 312 × 2 = 1 + 0,999 999 133 500 663 738 138 624;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 005 329 070 422(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10,000 000 000 000 005 329 070 422(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10,000 000 000 000 005 329 070 422(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111 1(2) × 20 =

1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1111 =

0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


Numărul zecimal 10,000 000 000 000 005 329 070 422 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

Distribuie

» Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 352 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100