10,000 000 000 000 005 329 070 523 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 523(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
10,000 000 000 000 005 329 070 523(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10(10) =

1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 005 329 070 523.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 005 329 070 523 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 658 141 046;
  • 2) 0,000 000 000 000 010 658 141 046 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 021 316 282 092;
  • 3) 0,000 000 000 000 021 316 282 092 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 042 632 564 184;
  • 4) 0,000 000 000 000 042 632 564 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 085 265 128 368;
  • 5) 0,000 000 000 000 085 265 128 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 170 530 256 736;
  • 6) 0,000 000 000 000 170 530 256 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 341 060 513 472;
  • 7) 0,000 000 000 000 341 060 513 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 682 121 026 944;
  • 8) 0,000 000 000 000 682 121 026 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 364 242 053 888;
  • 9) 0,000 000 000 001 364 242 053 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 728 484 107 776;
  • 10) 0,000 000 000 002 728 484 107 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 456 968 215 552;
  • 11) 0,000 000 000 005 456 968 215 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 913 936 431 104;
  • 12) 0,000 000 000 010 913 936 431 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 021 827 872 862 208;
  • 13) 0,000 000 000 021 827 872 862 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 043 655 745 724 416;
  • 14) 0,000 000 000 043 655 745 724 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 087 311 491 448 832;
  • 15) 0,000 000 000 087 311 491 448 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 174 622 982 897 664;
  • 16) 0,000 000 000 174 622 982 897 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 349 245 965 795 328;
  • 17) 0,000 000 000 349 245 965 795 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 698 491 931 590 656;
  • 18) 0,000 000 000 698 491 931 590 656 × 2 = 0 + 0,000 000 001 396 983 863 181 312;
  • 19) 0,000 000 001 396 983 863 181 312 × 2 = 0 + 0,000 000 002 793 967 726 362 624;
  • 20) 0,000 000 002 793 967 726 362 624 × 2 = 0 + 0,000 000 005 587 935 452 725 248;
  • 21) 0,000 000 005 587 935 452 725 248 × 2 = 0 + 0,000 000 011 175 870 905 450 496;
  • 22) 0,000 000 011 175 870 905 450 496 × 2 = 0 + 0,000 000 022 351 741 810 900 992;
  • 23) 0,000 000 022 351 741 810 900 992 × 2 = 0 + 0,000 000 044 703 483 621 801 984;
  • 24) 0,000 000 044 703 483 621 801 984 × 2 = 0 + 0,000 000 089 406 967 243 603 968;
  • 25) 0,000 000 089 406 967 243 603 968 × 2 = 0 + 0,000 000 178 813 934 487 207 936;
  • 26) 0,000 000 178 813 934 487 207 936 × 2 = 0 + 0,000 000 357 627 868 974 415 872;
  • 27) 0,000 000 357 627 868 974 415 872 × 2 = 0 + 0,000 000 715 255 737 948 831 744;
  • 28) 0,000 000 715 255 737 948 831 744 × 2 = 0 + 0,000 001 430 511 475 897 663 488;
  • 29) 0,000 001 430 511 475 897 663 488 × 2 = 0 + 0,000 002 861 022 951 795 326 976;
  • 30) 0,000 002 861 022 951 795 326 976 × 2 = 0 + 0,000 005 722 045 903 590 653 952;
  • 31) 0,000 005 722 045 903 590 653 952 × 2 = 0 + 0,000 011 444 091 807 181 307 904;
  • 32) 0,000 011 444 091 807 181 307 904 × 2 = 0 + 0,000 022 888 183 614 362 615 808;
  • 33) 0,000 022 888 183 614 362 615 808 × 2 = 0 + 0,000 045 776 367 228 725 231 616;
  • 34) 0,000 045 776 367 228 725 231 616 × 2 = 0 + 0,000 091 552 734 457 450 463 232;
  • 35) 0,000 091 552 734 457 450 463 232 × 2 = 0 + 0,000 183 105 468 914 900 926 464;
  • 36) 0,000 183 105 468 914 900 926 464 × 2 = 0 + 0,000 366 210 937 829 801 852 928;
  • 37) 0,000 366 210 937 829 801 852 928 × 2 = 0 + 0,000 732 421 875 659 603 705 856;
  • 38) 0,000 732 421 875 659 603 705 856 × 2 = 0 + 0,001 464 843 751 319 207 411 712;
  • 39) 0,001 464 843 751 319 207 411 712 × 2 = 0 + 0,002 929 687 502 638 414 823 424;
  • 40) 0,002 929 687 502 638 414 823 424 × 2 = 0 + 0,005 859 375 005 276 829 646 848;
  • 41) 0,005 859 375 005 276 829 646 848 × 2 = 0 + 0,011 718 750 010 553 659 293 696;
  • 42) 0,011 718 750 010 553 659 293 696 × 2 = 0 + 0,023 437 500 021 107 318 587 392;
  • 43) 0,023 437 500 021 107 318 587 392 × 2 = 0 + 0,046 875 000 042 214 637 174 784;
  • 44) 0,046 875 000 042 214 637 174 784 × 2 = 0 + 0,093 750 000 084 429 274 349 568;
  • 45) 0,093 750 000 084 429 274 349 568 × 2 = 0 + 0,187 500 000 168 858 548 699 136;
  • 46) 0,187 500 000 168 858 548 699 136 × 2 = 0 + 0,375 000 000 337 717 097 398 272;
  • 47) 0,375 000 000 337 717 097 398 272 × 2 = 0 + 0,750 000 000 675 434 194 796 544;
  • 48) 0,750 000 000 675 434 194 796 544 × 2 = 1 + 0,500 000 001 350 868 389 593 088;
  • 49) 0,500 000 001 350 868 389 593 088 × 2 = 1 + 0,000 000 002 701 736 779 186 176;
  • 50) 0,000 000 002 701 736 779 186 176 × 2 = 0 + 0,000 000 005 403 473 558 372 352;
  • 51) 0,000 000 005 403 473 558 372 352 × 2 = 0 + 0,000 000 010 806 947 116 744 704;
  • 52) 0,000 000 010 806 947 116 744 704 × 2 = 0 + 0,000 000 021 613 894 233 489 408;
  • 53) 0,000 000 021 613 894 233 489 408 × 2 = 0 + 0,000 000 043 227 788 466 978 816;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 005 329 070 523(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10,000 000 000 000 005 329 070 523(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10,000 000 000 000 005 329 070 523(10) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0(2) =

1010,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0(2) × 20 =

1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0000(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0000 =

0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011


Numărul zecimal 10,000 000 000 000 005 329 070 523 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011

Distribuie

» Scriere 10,000 000 000 000 005 329 070 512 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100