10 000 000 111 111 010 111 070 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 10 000 000 111 111 010 111 070(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
10 000 000 111 111 010 111 070(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 000 000 111 111 010 111 070 : 2 = 5 000 000 055 555 505 055 535 + 0;
  • 5 000 000 055 555 505 055 535 : 2 = 2 500 000 027 777 752 527 767 + 1;
  • 2 500 000 027 777 752 527 767 : 2 = 1 250 000 013 888 876 263 883 + 1;
  • 1 250 000 013 888 876 263 883 : 2 = 625 000 006 944 438 131 941 + 1;
  • 625 000 006 944 438 131 941 : 2 = 312 500 003 472 219 065 970 + 1;
  • 312 500 003 472 219 065 970 : 2 = 156 250 001 736 109 532 985 + 0;
  • 156 250 001 736 109 532 985 : 2 = 78 125 000 868 054 766 492 + 1;
  • 78 125 000 868 054 766 492 : 2 = 39 062 500 434 027 383 246 + 0;
  • 39 062 500 434 027 383 246 : 2 = 19 531 250 217 013 691 623 + 0;
  • 19 531 250 217 013 691 623 : 2 = 9 765 625 108 506 845 811 + 1;
  • 9 765 625 108 506 845 811 : 2 = 4 882 812 554 253 422 905 + 1;
  • 4 882 812 554 253 422 905 : 2 = 2 441 406 277 126 711 452 + 1;
  • 2 441 406 277 126 711 452 : 2 = 1 220 703 138 563 355 726 + 0;
  • 1 220 703 138 563 355 726 : 2 = 610 351 569 281 677 863 + 0;
  • 610 351 569 281 677 863 : 2 = 305 175 784 640 838 931 + 1;
  • 305 175 784 640 838 931 : 2 = 152 587 892 320 419 465 + 1;
  • 152 587 892 320 419 465 : 2 = 76 293 946 160 209 732 + 1;
  • 76 293 946 160 209 732 : 2 = 38 146 973 080 104 866 + 0;
  • 38 146 973 080 104 866 : 2 = 19 073 486 540 052 433 + 0;
  • 19 073 486 540 052 433 : 2 = 9 536 743 270 026 216 + 1;
  • 9 536 743 270 026 216 : 2 = 4 768 371 635 013 108 + 0;
  • 4 768 371 635 013 108 : 2 = 2 384 185 817 506 554 + 0;
  • 2 384 185 817 506 554 : 2 = 1 192 092 908 753 277 + 0;
  • 1 192 092 908 753 277 : 2 = 596 046 454 376 638 + 1;
  • 596 046 454 376 638 : 2 = 298 023 227 188 319 + 0;
  • 298 023 227 188 319 : 2 = 149 011 613 594 159 + 1;
  • 149 011 613 594 159 : 2 = 74 505 806 797 079 + 1;
  • 74 505 806 797 079 : 2 = 37 252 903 398 539 + 1;
  • 37 252 903 398 539 : 2 = 18 626 451 699 269 + 1;
  • 18 626 451 699 269 : 2 = 9 313 225 849 634 + 1;
  • 9 313 225 849 634 : 2 = 4 656 612 924 817 + 0;
  • 4 656 612 924 817 : 2 = 2 328 306 462 408 + 1;
  • 2 328 306 462 408 : 2 = 1 164 153 231 204 + 0;
  • 1 164 153 231 204 : 2 = 582 076 615 602 + 0;
  • 582 076 615 602 : 2 = 291 038 307 801 + 0;
  • 291 038 307 801 : 2 = 145 519 153 900 + 1;
  • 145 519 153 900 : 2 = 72 759 576 950 + 0;
  • 72 759 576 950 : 2 = 36 379 788 475 + 0;
  • 36 379 788 475 : 2 = 18 189 894 237 + 1;
  • 18 189 894 237 : 2 = 9 094 947 118 + 1;
  • 9 094 947 118 : 2 = 4 547 473 559 + 0;
  • 4 547 473 559 : 2 = 2 273 736 779 + 1;
  • 2 273 736 779 : 2 = 1 136 868 389 + 1;
  • 1 136 868 389 : 2 = 568 434 194 + 1;
  • 568 434 194 : 2 = 284 217 097 + 0;
  • 284 217 097 : 2 = 142 108 548 + 1;
  • 142 108 548 : 2 = 71 054 274 + 0;
  • 71 054 274 : 2 = 35 527 137 + 0;
  • 35 527 137 : 2 = 17 763 568 + 1;
  • 17 763 568 : 2 = 8 881 784 + 0;
  • 8 881 784 : 2 = 4 440 892 + 0;
  • 4 440 892 : 2 = 2 220 446 + 0;
  • 2 220 446 : 2 = 1 110 223 + 0;
  • 1 110 223 : 2 = 555 111 + 1;
  • 555 111 : 2 = 277 555 + 1;
  • 277 555 : 2 = 138 777 + 1;
  • 138 777 : 2 = 69 388 + 1;
  • 69 388 : 2 = 34 694 + 0;
  • 34 694 : 2 = 17 347 + 0;
  • 17 347 : 2 = 8 673 + 1;
  • 8 673 : 2 = 4 336 + 1;
  • 4 336 : 2 = 2 168 + 0;
  • 2 168 : 2 = 1 084 + 0;
  • 1 084 : 2 = 542 + 0;
  • 542 : 2 = 271 + 0;
  • 271 : 2 = 135 + 1;
  • 135 : 2 = 67 + 1;
  • 67 : 2 = 33 + 1;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10 000 000 111 111 010 111 070(10) =

10 0001 1110 0001 1001 1110 0001 0010 1110 1100 1000 1011 1110 1000 1001 1100 1110 0101 1110(2)


3. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 73 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10 000 000 111 111 010 111 070(10) =

10 0001 1110 0001 1001 1110 0001 0010 1110 1100 1000 1011 1110 1000 1001 1100 1110 0101 1110(2) =

10 0001 1110 0001 1001 1110 0001 0010 1110 1100 1000 1011 1110 1000 1001 1100 1110 0101 1110(2) × 20 =

1,0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100 0100 1110 0111 0010 1111 0(2) × 273


4. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 73

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100 0100 1110 0111 0010 1111 0


5. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

73 + 2(11-1) - 1 =

(73 + 1 023)(10) =

1 096(10)


6. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 096 : 2 = 548 + 0;
  • 548 : 2 = 274 + 0;
  • 274 : 2 = 137 + 0;
  • 137 : 2 = 68 + 1;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

7. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1096(10) =

100 0100 1000(2)


8. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100 0 1001 1100 1110 0101 1110 =

0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100


9. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0100 1000

Mantisă (52 biți) =
0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100


Numărul zecimal 10 000 000 111 111 010 111 070 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0100 1000 - 0000 1111 0000 1100 1111 0000 1001 0111 0110 0100 0101 1111 0100

Distribuie

» Scriere 10 000 000 111 111 010 111 096 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100