100 010 100 110,000 111 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 100 010 100 110,000 111 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
100 010 100 110,000 111 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 100 010 100 110.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 100 010 100 110 : 2 = 50 005 050 055 + 0;
  • 50 005 050 055 : 2 = 25 002 525 027 + 1;
  • 25 002 525 027 : 2 = 12 501 262 513 + 1;
  • 12 501 262 513 : 2 = 6 250 631 256 + 1;
  • 6 250 631 256 : 2 = 3 125 315 628 + 0;
  • 3 125 315 628 : 2 = 1 562 657 814 + 0;
  • 1 562 657 814 : 2 = 781 328 907 + 0;
  • 781 328 907 : 2 = 390 664 453 + 1;
  • 390 664 453 : 2 = 195 332 226 + 1;
  • 195 332 226 : 2 = 97 666 113 + 0;
  • 97 666 113 : 2 = 48 833 056 + 1;
  • 48 833 056 : 2 = 24 416 528 + 0;
  • 24 416 528 : 2 = 12 208 264 + 0;
  • 12 208 264 : 2 = 6 104 132 + 0;
  • 6 104 132 : 2 = 3 052 066 + 0;
  • 3 052 066 : 2 = 1 526 033 + 0;
  • 1 526 033 : 2 = 763 016 + 1;
  • 763 016 : 2 = 381 508 + 0;
  • 381 508 : 2 = 190 754 + 0;
  • 190 754 : 2 = 95 377 + 0;
  • 95 377 : 2 = 47 688 + 1;
  • 47 688 : 2 = 23 844 + 0;
  • 23 844 : 2 = 11 922 + 0;
  • 11 922 : 2 = 5 961 + 0;
  • 5 961 : 2 = 2 980 + 1;
  • 2 980 : 2 = 1 490 + 0;
  • 1 490 : 2 = 745 + 0;
  • 745 : 2 = 372 + 1;
  • 372 : 2 = 186 + 0;
  • 186 : 2 = 93 + 0;
  • 93 : 2 = 46 + 1;
  • 46 : 2 = 23 + 0;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

100 010 100 110(10) =

1 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 111 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 111 3 × 2 = 0 + 0,000 222 6;
  • 2) 0,000 222 6 × 2 = 0 + 0,000 445 2;
  • 3) 0,000 445 2 × 2 = 0 + 0,000 890 4;
  • 4) 0,000 890 4 × 2 = 0 + 0,001 780 8;
  • 5) 0,001 780 8 × 2 = 0 + 0,003 561 6;
  • 6) 0,003 561 6 × 2 = 0 + 0,007 123 2;
  • 7) 0,007 123 2 × 2 = 0 + 0,014 246 4;
  • 8) 0,014 246 4 × 2 = 0 + 0,028 492 8;
  • 9) 0,028 492 8 × 2 = 0 + 0,056 985 6;
  • 10) 0,056 985 6 × 2 = 0 + 0,113 971 2;
  • 11) 0,113 971 2 × 2 = 0 + 0,227 942 4;
  • 12) 0,227 942 4 × 2 = 0 + 0,455 884 8;
  • 13) 0,455 884 8 × 2 = 0 + 0,911 769 6;
  • 14) 0,911 769 6 × 2 = 1 + 0,823 539 2;
  • 15) 0,823 539 2 × 2 = 1 + 0,647 078 4;
  • 16) 0,647 078 4 × 2 = 1 + 0,294 156 8;
  • 17) 0,294 156 8 × 2 = 0 + 0,588 313 6;
  • 18) 0,588 313 6 × 2 = 1 + 0,176 627 2;
  • 19) 0,176 627 2 × 2 = 0 + 0,353 254 4;
  • 20) 0,353 254 4 × 2 = 0 + 0,706 508 8;
  • 21) 0,706 508 8 × 2 = 1 + 0,413 017 6;
  • 22) 0,413 017 6 × 2 = 0 + 0,826 035 2;
  • 23) 0,826 035 2 × 2 = 1 + 0,652 070 4;
  • 24) 0,652 070 4 × 2 = 1 + 0,304 140 8;
  • 25) 0,304 140 8 × 2 = 0 + 0,608 281 6;
  • 26) 0,608 281 6 × 2 = 1 + 0,216 563 2;
  • 27) 0,216 563 2 × 2 = 0 + 0,433 126 4;
  • 28) 0,433 126 4 × 2 = 0 + 0,866 252 8;
  • 29) 0,866 252 8 × 2 = 1 + 0,732 505 6;
  • 30) 0,732 505 6 × 2 = 1 + 0,465 011 2;
  • 31) 0,465 011 2 × 2 = 0 + 0,930 022 4;
  • 32) 0,930 022 4 × 2 = 1 + 0,860 044 8;
  • 33) 0,860 044 8 × 2 = 1 + 0,720 089 6;
  • 34) 0,720 089 6 × 2 = 1 + 0,440 179 2;
  • 35) 0,440 179 2 × 2 = 0 + 0,880 358 4;
  • 36) 0,880 358 4 × 2 = 1 + 0,760 716 8;
  • 37) 0,760 716 8 × 2 = 1 + 0,521 433 6;
  • 38) 0,521 433 6 × 2 = 1 + 0,042 867 2;
  • 39) 0,042 867 2 × 2 = 0 + 0,085 734 4;
  • 40) 0,085 734 4 × 2 = 0 + 0,171 468 8;
  • 41) 0,171 468 8 × 2 = 0 + 0,342 937 6;
  • 42) 0,342 937 6 × 2 = 0 + 0,685 875 2;
  • 43) 0,685 875 2 × 2 = 1 + 0,371 750 4;
  • 44) 0,371 750 4 × 2 = 0 + 0,743 500 8;
  • 45) 0,743 500 8 × 2 = 1 + 0,487 001 6;
  • 46) 0,487 001 6 × 2 = 0 + 0,974 003 2;
  • 47) 0,974 003 2 × 2 = 1 + 0,948 006 4;
  • 48) 0,948 006 4 × 2 = 1 + 0,896 012 8;
  • 49) 0,896 012 8 × 2 = 1 + 0,792 025 6;
  • 50) 0,792 025 6 × 2 = 1 + 0,584 051 2;
  • 51) 0,584 051 2 × 2 = 1 + 0,168 102 4;
  • 52) 0,168 102 4 × 2 = 0 + 0,336 204 8;
  • 53) 0,336 204 8 × 2 = 0 + 0,672 409 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 111 3(10) =

0,0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

100 010 100 110,000 111 3(10) =

1 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110,0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 36 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


100 010 100 110,000 111 3(10) =

1 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110,0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0(2) =

1 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110,0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0(2) × 20 =

1,0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0(2) × 236


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 36

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111 0100 1011 0100 1101 1101 1100 0010 1011 1110 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

36 + 2(11-1) - 1 =

(36 + 1 023)(10) =

1 059(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 059 : 2 = 529 + 1;
  • 529 : 2 = 264 + 1;
  • 264 : 2 = 132 + 0;
  • 132 : 2 = 66 + 0;
  • 66 : 2 = 33 + 0;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1059(10) =

100 0010 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111 0 1001 0110 1001 1011 1011 1000 0101 0111 1100 =

0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0010 0011

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111


Numărul zecimal 100 010 100 110,000 111 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0010 0011 - 0111 0100 1001 0001 0001 0000 0101 1000 1110 0000 0000 0000 0111

» Scriere 100 010 100 110,000 116 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100