108,447 026 621 334 14 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 108,447 026 621 334 14(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
108,447 026 621 334 14(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 108.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

108(10) =

110 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,447 026 621 334 14.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,447 026 621 334 14 × 2 = 0 + 0,894 053 242 668 28;
  • 2) 0,894 053 242 668 28 × 2 = 1 + 0,788 106 485 336 56;
  • 3) 0,788 106 485 336 56 × 2 = 1 + 0,576 212 970 673 12;
  • 4) 0,576 212 970 673 12 × 2 = 1 + 0,152 425 941 346 24;
  • 5) 0,152 425 941 346 24 × 2 = 0 + 0,304 851 882 692 48;
  • 6) 0,304 851 882 692 48 × 2 = 0 + 0,609 703 765 384 96;
  • 7) 0,609 703 765 384 96 × 2 = 1 + 0,219 407 530 769 92;
  • 8) 0,219 407 530 769 92 × 2 = 0 + 0,438 815 061 539 84;
  • 9) 0,438 815 061 539 84 × 2 = 0 + 0,877 630 123 079 68;
  • 10) 0,877 630 123 079 68 × 2 = 1 + 0,755 260 246 159 36;
  • 11) 0,755 260 246 159 36 × 2 = 1 + 0,510 520 492 318 72;
  • 12) 0,510 520 492 318 72 × 2 = 1 + 0,021 040 984 637 44;
  • 13) 0,021 040 984 637 44 × 2 = 0 + 0,042 081 969 274 88;
  • 14) 0,042 081 969 274 88 × 2 = 0 + 0,084 163 938 549 76;
  • 15) 0,084 163 938 549 76 × 2 = 0 + 0,168 327 877 099 52;
  • 16) 0,168 327 877 099 52 × 2 = 0 + 0,336 655 754 199 04;
  • 17) 0,336 655 754 199 04 × 2 = 0 + 0,673 311 508 398 08;
  • 18) 0,673 311 508 398 08 × 2 = 1 + 0,346 623 016 796 16;
  • 19) 0,346 623 016 796 16 × 2 = 0 + 0,693 246 033 592 32;
  • 20) 0,693 246 033 592 32 × 2 = 1 + 0,386 492 067 184 64;
  • 21) 0,386 492 067 184 64 × 2 = 0 + 0,772 984 134 369 28;
  • 22) 0,772 984 134 369 28 × 2 = 1 + 0,545 968 268 738 56;
  • 23) 0,545 968 268 738 56 × 2 = 1 + 0,091 936 537 477 12;
  • 24) 0,091 936 537 477 12 × 2 = 0 + 0,183 873 074 954 24;
  • 25) 0,183 873 074 954 24 × 2 = 0 + 0,367 746 149 908 48;
  • 26) 0,367 746 149 908 48 × 2 = 0 + 0,735 492 299 816 96;
  • 27) 0,735 492 299 816 96 × 2 = 1 + 0,470 984 599 633 92;
  • 28) 0,470 984 599 633 92 × 2 = 0 + 0,941 969 199 267 84;
  • 29) 0,941 969 199 267 84 × 2 = 1 + 0,883 938 398 535 68;
  • 30) 0,883 938 398 535 68 × 2 = 1 + 0,767 876 797 071 36;
  • 31) 0,767 876 797 071 36 × 2 = 1 + 0,535 753 594 142 72;
  • 32) 0,535 753 594 142 72 × 2 = 1 + 0,071 507 188 285 44;
  • 33) 0,071 507 188 285 44 × 2 = 0 + 0,143 014 376 570 88;
  • 34) 0,143 014 376 570 88 × 2 = 0 + 0,286 028 753 141 76;
  • 35) 0,286 028 753 141 76 × 2 = 0 + 0,572 057 506 283 52;
  • 36) 0,572 057 506 283 52 × 2 = 1 + 0,144 115 012 567 04;
  • 37) 0,144 115 012 567 04 × 2 = 0 + 0,288 230 025 134 08;
  • 38) 0,288 230 025 134 08 × 2 = 0 + 0,576 460 050 268 16;
  • 39) 0,576 460 050 268 16 × 2 = 1 + 0,152 920 100 536 32;
  • 40) 0,152 920 100 536 32 × 2 = 0 + 0,305 840 201 072 64;
  • 41) 0,305 840 201 072 64 × 2 = 0 + 0,611 680 402 145 28;
  • 42) 0,611 680 402 145 28 × 2 = 1 + 0,223 360 804 290 56;
  • 43) 0,223 360 804 290 56 × 2 = 0 + 0,446 721 608 581 12;
  • 44) 0,446 721 608 581 12 × 2 = 0 + 0,893 443 217 162 24;
  • 45) 0,893 443 217 162 24 × 2 = 1 + 0,786 886 434 324 48;
  • 46) 0,786 886 434 324 48 × 2 = 1 + 0,573 772 868 648 96;
  • 47) 0,573 772 868 648 96 × 2 = 1 + 0,147 545 737 297 92;
  • 48) 0,147 545 737 297 92 × 2 = 0 + 0,295 091 474 595 84;
  • 49) 0,295 091 474 595 84 × 2 = 0 + 0,590 182 949 191 68;
  • 50) 0,590 182 949 191 68 × 2 = 1 + 0,180 365 898 383 36;
  • 51) 0,180 365 898 383 36 × 2 = 0 + 0,360 731 796 766 72;
  • 52) 0,360 731 796 766 72 × 2 = 0 + 0,721 463 593 533 44;
  • 53) 0,721 463 593 533 44 × 2 = 1 + 0,442 927 187 066 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,447 026 621 334 14(10) =

0,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0100 1110 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

108,447 026 621 334 14(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0100 1110 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


108,447 026 621 334 14(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0100 1110 0100 1(2) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0100 1110 0100 1(2) × 20 =

1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011 1001 001(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011 1001 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011 100 1001 =

1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011


Numărul zecimal 108,447 026 621 334 14 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0011

Distribuie

» Scriere 108,447 026 621 334 76 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100