108,447 026 621 334 160 267 78 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 108,447 026 621 334 160 267 78(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
108,447 026 621 334 160 267 78(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 108.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

108(10) =

110 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,447 026 621 334 160 267 78.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,447 026 621 334 160 267 78 × 2 = 0 + 0,894 053 242 668 320 535 56;
  • 2) 0,894 053 242 668 320 535 56 × 2 = 1 + 0,788 106 485 336 641 071 12;
  • 3) 0,788 106 485 336 641 071 12 × 2 = 1 + 0,576 212 970 673 282 142 24;
  • 4) 0,576 212 970 673 282 142 24 × 2 = 1 + 0,152 425 941 346 564 284 48;
  • 5) 0,152 425 941 346 564 284 48 × 2 = 0 + 0,304 851 882 693 128 568 96;
  • 6) 0,304 851 882 693 128 568 96 × 2 = 0 + 0,609 703 765 386 257 137 92;
  • 7) 0,609 703 765 386 257 137 92 × 2 = 1 + 0,219 407 530 772 514 275 84;
  • 8) 0,219 407 530 772 514 275 84 × 2 = 0 + 0,438 815 061 545 028 551 68;
  • 9) 0,438 815 061 545 028 551 68 × 2 = 0 + 0,877 630 123 090 057 103 36;
  • 10) 0,877 630 123 090 057 103 36 × 2 = 1 + 0,755 260 246 180 114 206 72;
  • 11) 0,755 260 246 180 114 206 72 × 2 = 1 + 0,510 520 492 360 228 413 44;
  • 12) 0,510 520 492 360 228 413 44 × 2 = 1 + 0,021 040 984 720 456 826 88;
  • 13) 0,021 040 984 720 456 826 88 × 2 = 0 + 0,042 081 969 440 913 653 76;
  • 14) 0,042 081 969 440 913 653 76 × 2 = 0 + 0,084 163 938 881 827 307 52;
  • 15) 0,084 163 938 881 827 307 52 × 2 = 0 + 0,168 327 877 763 654 615 04;
  • 16) 0,168 327 877 763 654 615 04 × 2 = 0 + 0,336 655 755 527 309 230 08;
  • 17) 0,336 655 755 527 309 230 08 × 2 = 0 + 0,673 311 511 054 618 460 16;
  • 18) 0,673 311 511 054 618 460 16 × 2 = 1 + 0,346 623 022 109 236 920 32;
  • 19) 0,346 623 022 109 236 920 32 × 2 = 0 + 0,693 246 044 218 473 840 64;
  • 20) 0,693 246 044 218 473 840 64 × 2 = 1 + 0,386 492 088 436 947 681 28;
  • 21) 0,386 492 088 436 947 681 28 × 2 = 0 + 0,772 984 176 873 895 362 56;
  • 22) 0,772 984 176 873 895 362 56 × 2 = 1 + 0,545 968 353 747 790 725 12;
  • 23) 0,545 968 353 747 790 725 12 × 2 = 1 + 0,091 936 707 495 581 450 24;
  • 24) 0,091 936 707 495 581 450 24 × 2 = 0 + 0,183 873 414 991 162 900 48;
  • 25) 0,183 873 414 991 162 900 48 × 2 = 0 + 0,367 746 829 982 325 800 96;
  • 26) 0,367 746 829 982 325 800 96 × 2 = 0 + 0,735 493 659 964 651 601 92;
  • 27) 0,735 493 659 964 651 601 92 × 2 = 1 + 0,470 987 319 929 303 203 84;
  • 28) 0,470 987 319 929 303 203 84 × 2 = 0 + 0,941 974 639 858 606 407 68;
  • 29) 0,941 974 639 858 606 407 68 × 2 = 1 + 0,883 949 279 717 212 815 36;
  • 30) 0,883 949 279 717 212 815 36 × 2 = 1 + 0,767 898 559 434 425 630 72;
  • 31) 0,767 898 559 434 425 630 72 × 2 = 1 + 0,535 797 118 868 851 261 44;
  • 32) 0,535 797 118 868 851 261 44 × 2 = 1 + 0,071 594 237 737 702 522 88;
  • 33) 0,071 594 237 737 702 522 88 × 2 = 0 + 0,143 188 475 475 405 045 76;
  • 34) 0,143 188 475 475 405 045 76 × 2 = 0 + 0,286 376 950 950 810 091 52;
  • 35) 0,286 376 950 950 810 091 52 × 2 = 0 + 0,572 753 901 901 620 183 04;
  • 36) 0,572 753 901 901 620 183 04 × 2 = 1 + 0,145 507 803 803 240 366 08;
  • 37) 0,145 507 803 803 240 366 08 × 2 = 0 + 0,291 015 607 606 480 732 16;
  • 38) 0,291 015 607 606 480 732 16 × 2 = 0 + 0,582 031 215 212 961 464 32;
  • 39) 0,582 031 215 212 961 464 32 × 2 = 1 + 0,164 062 430 425 922 928 64;
  • 40) 0,164 062 430 425 922 928 64 × 2 = 0 + 0,328 124 860 851 845 857 28;
  • 41) 0,328 124 860 851 845 857 28 × 2 = 0 + 0,656 249 721 703 691 714 56;
  • 42) 0,656 249 721 703 691 714 56 × 2 = 1 + 0,312 499 443 407 383 429 12;
  • 43) 0,312 499 443 407 383 429 12 × 2 = 0 + 0,624 998 886 814 766 858 24;
  • 44) 0,624 998 886 814 766 858 24 × 2 = 1 + 0,249 997 773 629 533 716 48;
  • 45) 0,249 997 773 629 533 716 48 × 2 = 0 + 0,499 995 547 259 067 432 96;
  • 46) 0,499 995 547 259 067 432 96 × 2 = 0 + 0,999 991 094 518 134 865 92;
  • 47) 0,999 991 094 518 134 865 92 × 2 = 1 + 0,999 982 189 036 269 731 84;
  • 48) 0,999 982 189 036 269 731 84 × 2 = 1 + 0,999 964 378 072 539 463 68;
  • 49) 0,999 964 378 072 539 463 68 × 2 = 1 + 0,999 928 756 145 078 927 36;
  • 50) 0,999 928 756 145 078 927 36 × 2 = 1 + 0,999 857 512 290 157 854 72;
  • 51) 0,999 857 512 290 157 854 72 × 2 = 1 + 0,999 715 024 580 315 709 44;
  • 52) 0,999 715 024 580 315 709 44 × 2 = 1 + 0,999 430 049 160 631 418 88;
  • 53) 0,999 430 049 160 631 418 88 × 2 = 1 + 0,998 860 098 321 262 837 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,447 026 621 334 160 267 78(10) =

0,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

108,447 026 621 334 160 267 78(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


108,447 026 621 334 160 267 78(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2) × 20 =

1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 1111 111(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 1111 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 111 1111 =

1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100


Numărul zecimal 108,447 026 621 334 160 267 78 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100

» Scriere 108,447 026 621 334 160 267 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100