108,447 026 621 334 160 267 899 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 108,447 026 621 334 160 267 899(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
108,447 026 621 334 160 267 899(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 108.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

108(10) =

110 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,447 026 621 334 160 267 899.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,447 026 621 334 160 267 899 × 2 = 0 + 0,894 053 242 668 320 535 798;
  • 2) 0,894 053 242 668 320 535 798 × 2 = 1 + 0,788 106 485 336 641 071 596;
  • 3) 0,788 106 485 336 641 071 596 × 2 = 1 + 0,576 212 970 673 282 143 192;
  • 4) 0,576 212 970 673 282 143 192 × 2 = 1 + 0,152 425 941 346 564 286 384;
  • 5) 0,152 425 941 346 564 286 384 × 2 = 0 + 0,304 851 882 693 128 572 768;
  • 6) 0,304 851 882 693 128 572 768 × 2 = 0 + 0,609 703 765 386 257 145 536;
  • 7) 0,609 703 765 386 257 145 536 × 2 = 1 + 0,219 407 530 772 514 291 072;
  • 8) 0,219 407 530 772 514 291 072 × 2 = 0 + 0,438 815 061 545 028 582 144;
  • 9) 0,438 815 061 545 028 582 144 × 2 = 0 + 0,877 630 123 090 057 164 288;
  • 10) 0,877 630 123 090 057 164 288 × 2 = 1 + 0,755 260 246 180 114 328 576;
  • 11) 0,755 260 246 180 114 328 576 × 2 = 1 + 0,510 520 492 360 228 657 152;
  • 12) 0,510 520 492 360 228 657 152 × 2 = 1 + 0,021 040 984 720 457 314 304;
  • 13) 0,021 040 984 720 457 314 304 × 2 = 0 + 0,042 081 969 440 914 628 608;
  • 14) 0,042 081 969 440 914 628 608 × 2 = 0 + 0,084 163 938 881 829 257 216;
  • 15) 0,084 163 938 881 829 257 216 × 2 = 0 + 0,168 327 877 763 658 514 432;
  • 16) 0,168 327 877 763 658 514 432 × 2 = 0 + 0,336 655 755 527 317 028 864;
  • 17) 0,336 655 755 527 317 028 864 × 2 = 0 + 0,673 311 511 054 634 057 728;
  • 18) 0,673 311 511 054 634 057 728 × 2 = 1 + 0,346 623 022 109 268 115 456;
  • 19) 0,346 623 022 109 268 115 456 × 2 = 0 + 0,693 246 044 218 536 230 912;
  • 20) 0,693 246 044 218 536 230 912 × 2 = 1 + 0,386 492 088 437 072 461 824;
  • 21) 0,386 492 088 437 072 461 824 × 2 = 0 + 0,772 984 176 874 144 923 648;
  • 22) 0,772 984 176 874 144 923 648 × 2 = 1 + 0,545 968 353 748 289 847 296;
  • 23) 0,545 968 353 748 289 847 296 × 2 = 1 + 0,091 936 707 496 579 694 592;
  • 24) 0,091 936 707 496 579 694 592 × 2 = 0 + 0,183 873 414 993 159 389 184;
  • 25) 0,183 873 414 993 159 389 184 × 2 = 0 + 0,367 746 829 986 318 778 368;
  • 26) 0,367 746 829 986 318 778 368 × 2 = 0 + 0,735 493 659 972 637 556 736;
  • 27) 0,735 493 659 972 637 556 736 × 2 = 1 + 0,470 987 319 945 275 113 472;
  • 28) 0,470 987 319 945 275 113 472 × 2 = 0 + 0,941 974 639 890 550 226 944;
  • 29) 0,941 974 639 890 550 226 944 × 2 = 1 + 0,883 949 279 781 100 453 888;
  • 30) 0,883 949 279 781 100 453 888 × 2 = 1 + 0,767 898 559 562 200 907 776;
  • 31) 0,767 898 559 562 200 907 776 × 2 = 1 + 0,535 797 119 124 401 815 552;
  • 32) 0,535 797 119 124 401 815 552 × 2 = 1 + 0,071 594 238 248 803 631 104;
  • 33) 0,071 594 238 248 803 631 104 × 2 = 0 + 0,143 188 476 497 607 262 208;
  • 34) 0,143 188 476 497 607 262 208 × 2 = 0 + 0,286 376 952 995 214 524 416;
  • 35) 0,286 376 952 995 214 524 416 × 2 = 0 + 0,572 753 905 990 429 048 832;
  • 36) 0,572 753 905 990 429 048 832 × 2 = 1 + 0,145 507 811 980 858 097 664;
  • 37) 0,145 507 811 980 858 097 664 × 2 = 0 + 0,291 015 623 961 716 195 328;
  • 38) 0,291 015 623 961 716 195 328 × 2 = 0 + 0,582 031 247 923 432 390 656;
  • 39) 0,582 031 247 923 432 390 656 × 2 = 1 + 0,164 062 495 846 864 781 312;
  • 40) 0,164 062 495 846 864 781 312 × 2 = 0 + 0,328 124 991 693 729 562 624;
  • 41) 0,328 124 991 693 729 562 624 × 2 = 0 + 0,656 249 983 387 459 125 248;
  • 42) 0,656 249 983 387 459 125 248 × 2 = 1 + 0,312 499 966 774 918 250 496;
  • 43) 0,312 499 966 774 918 250 496 × 2 = 0 + 0,624 999 933 549 836 500 992;
  • 44) 0,624 999 933 549 836 500 992 × 2 = 1 + 0,249 999 867 099 673 001 984;
  • 45) 0,249 999 867 099 673 001 984 × 2 = 0 + 0,499 999 734 199 346 003 968;
  • 46) 0,499 999 734 199 346 003 968 × 2 = 0 + 0,999 999 468 398 692 007 936;
  • 47) 0,999 999 468 398 692 007 936 × 2 = 1 + 0,999 998 936 797 384 015 872;
  • 48) 0,999 998 936 797 384 015 872 × 2 = 1 + 0,999 997 873 594 768 031 744;
  • 49) 0,999 997 873 594 768 031 744 × 2 = 1 + 0,999 995 747 189 536 063 488;
  • 50) 0,999 995 747 189 536 063 488 × 2 = 1 + 0,999 991 494 379 072 126 976;
  • 51) 0,999 991 494 379 072 126 976 × 2 = 1 + 0,999 982 988 758 144 253 952;
  • 52) 0,999 982 988 758 144 253 952 × 2 = 1 + 0,999 965 977 516 288 507 904;
  • 53) 0,999 965 977 516 288 507 904 × 2 = 1 + 0,999 931 955 032 577 015 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,447 026 621 334 160 267 899(10) =

0,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

108,447 026 621 334 160 267 899(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


108,447 026 621 334 160 267 899(10) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2) =

110 1100,0111 0010 0111 0000 0101 0110 0010 1111 0001 0010 0101 0011 1111 1(2) × 20 =

1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 1111 111(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 1111 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100 111 1111 =

1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100


Numărul zecimal 108,447 026 621 334 160 267 899 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 1011 0001 1100 1001 1100 0001 0101 1000 1011 1100 0100 1001 0100

Distribuie

» Scriere 108,447 026 621 334 160 267 988 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100