1 100 011,111 112 93 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1 100 011,111 112 93(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1 100 011,111 112 93(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 100 011.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 100 011 : 2 = 550 005 + 1;
  • 550 005 : 2 = 275 002 + 1;
  • 275 002 : 2 = 137 501 + 0;
  • 137 501 : 2 = 68 750 + 1;
  • 68 750 : 2 = 34 375 + 0;
  • 34 375 : 2 = 17 187 + 1;
  • 17 187 : 2 = 8 593 + 1;
  • 8 593 : 2 = 4 296 + 1;
  • 4 296 : 2 = 2 148 + 0;
  • 2 148 : 2 = 1 074 + 0;
  • 1 074 : 2 = 537 + 0;
  • 537 : 2 = 268 + 1;
  • 268 : 2 = 134 + 0;
  • 134 : 2 = 67 + 0;
  • 67 : 2 = 33 + 1;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 100 011(10) =

1 0000 1100 1000 1110 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,111 112 93.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,111 112 93 × 2 = 0 + 0,222 225 86;
  • 2) 0,222 225 86 × 2 = 0 + 0,444 451 72;
  • 3) 0,444 451 72 × 2 = 0 + 0,888 903 44;
  • 4) 0,888 903 44 × 2 = 1 + 0,777 806 88;
  • 5) 0,777 806 88 × 2 = 1 + 0,555 613 76;
  • 6) 0,555 613 76 × 2 = 1 + 0,111 227 52;
  • 7) 0,111 227 52 × 2 = 0 + 0,222 455 04;
  • 8) 0,222 455 04 × 2 = 0 + 0,444 910 08;
  • 9) 0,444 910 08 × 2 = 0 + 0,889 820 16;
  • 10) 0,889 820 16 × 2 = 1 + 0,779 640 32;
  • 11) 0,779 640 32 × 2 = 1 + 0,559 280 64;
  • 12) 0,559 280 64 × 2 = 1 + 0,118 561 28;
  • 13) 0,118 561 28 × 2 = 0 + 0,237 122 56;
  • 14) 0,237 122 56 × 2 = 0 + 0,474 245 12;
  • 15) 0,474 245 12 × 2 = 0 + 0,948 490 24;
  • 16) 0,948 490 24 × 2 = 1 + 0,896 980 48;
  • 17) 0,896 980 48 × 2 = 1 + 0,793 960 96;
  • 18) 0,793 960 96 × 2 = 1 + 0,587 921 92;
  • 19) 0,587 921 92 × 2 = 1 + 0,175 843 84;
  • 20) 0,175 843 84 × 2 = 0 + 0,351 687 68;
  • 21) 0,351 687 68 × 2 = 0 + 0,703 375 36;
  • 22) 0,703 375 36 × 2 = 1 + 0,406 750 72;
  • 23) 0,406 750 72 × 2 = 0 + 0,813 501 44;
  • 24) 0,813 501 44 × 2 = 1 + 0,627 002 88;
  • 25) 0,627 002 88 × 2 = 1 + 0,254 005 76;
  • 26) 0,254 005 76 × 2 = 0 + 0,508 011 52;
  • 27) 0,508 011 52 × 2 = 1 + 0,016 023 04;
  • 28) 0,016 023 04 × 2 = 0 + 0,032 046 08;
  • 29) 0,032 046 08 × 2 = 0 + 0,064 092 16;
  • 30) 0,064 092 16 × 2 = 0 + 0,128 184 32;
  • 31) 0,128 184 32 × 2 = 0 + 0,256 368 64;
  • 32) 0,256 368 64 × 2 = 0 + 0,512 737 28;
  • 33) 0,512 737 28 × 2 = 1 + 0,025 474 56;
  • 34) 0,025 474 56 × 2 = 0 + 0,050 949 12;
  • 35) 0,050 949 12 × 2 = 0 + 0,101 898 24;
  • 36) 0,101 898 24 × 2 = 0 + 0,203 796 48;
  • 37) 0,203 796 48 × 2 = 0 + 0,407 592 96;
  • 38) 0,407 592 96 × 2 = 0 + 0,815 185 92;
  • 39) 0,815 185 92 × 2 = 1 + 0,630 371 84;
  • 40) 0,630 371 84 × 2 = 1 + 0,260 743 68;
  • 41) 0,260 743 68 × 2 = 0 + 0,521 487 36;
  • 42) 0,521 487 36 × 2 = 1 + 0,042 974 72;
  • 43) 0,042 974 72 × 2 = 0 + 0,085 949 44;
  • 44) 0,085 949 44 × 2 = 0 + 0,171 898 88;
  • 45) 0,171 898 88 × 2 = 0 + 0,343 797 76;
  • 46) 0,343 797 76 × 2 = 0 + 0,687 595 52;
  • 47) 0,687 595 52 × 2 = 1 + 0,375 191 04;
  • 48) 0,375 191 04 × 2 = 0 + 0,750 382 08;
  • 49) 0,750 382 08 × 2 = 1 + 0,500 764 16;
  • 50) 0,500 764 16 × 2 = 1 + 0,001 528 32;
  • 51) 0,001 528 32 × 2 = 0 + 0,003 056 64;
  • 52) 0,003 056 64 × 2 = 0 + 0,006 113 28;
  • 53) 0,006 113 28 × 2 = 0 + 0,012 226 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,111 112 93(10) =

0,0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 100 011,111 112 93(10) =

1 0000 1100 1000 1110 1011,0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 100 011,111 112 93(10) =

1 0000 1100 1000 1110 1011,0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0(2) =

1 0000 1100 1000 1110 1011,0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0(2) × 20 =

1,0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0(2) × 220


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 20

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1000 0011 0100 0010 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

20 + 2(11-1) - 1 =

(20 + 1 023)(10) =

1 043(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 043 : 2 = 521 + 1;
  • 521 : 2 = 260 + 1;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1043(10) =

100 0001 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000 1 0000 0110 1000 0101 1000 =

0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0011

Mantisă (52 biți) =
0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000


Numărul zecimal 1 100 011,111 112 93 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0011 - 0000 1100 1000 1110 1011 0001 1100 0111 0001 1110 0101 1010 0000

Distribuie

» Scriere 1 100 011,111 113 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100