123 456 789 012 345 678 921 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 123 456 789 012 345 678 921(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
123 456 789 012 345 678 921(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 123 456 789 012 345 678 921 : 2 = 61 728 394 506 172 839 460 + 1;
  • 61 728 394 506 172 839 460 : 2 = 30 864 197 253 086 419 730 + 0;
  • 30 864 197 253 086 419 730 : 2 = 15 432 098 626 543 209 865 + 0;
  • 15 432 098 626 543 209 865 : 2 = 7 716 049 313 271 604 932 + 1;
  • 7 716 049 313 271 604 932 : 2 = 3 858 024 656 635 802 466 + 0;
  • 3 858 024 656 635 802 466 : 2 = 1 929 012 328 317 901 233 + 0;
  • 1 929 012 328 317 901 233 : 2 = 964 506 164 158 950 616 + 1;
  • 964 506 164 158 950 616 : 2 = 482 253 082 079 475 308 + 0;
  • 482 253 082 079 475 308 : 2 = 241 126 541 039 737 654 + 0;
  • 241 126 541 039 737 654 : 2 = 120 563 270 519 868 827 + 0;
  • 120 563 270 519 868 827 : 2 = 60 281 635 259 934 413 + 1;
  • 60 281 635 259 934 413 : 2 = 30 140 817 629 967 206 + 1;
  • 30 140 817 629 967 206 : 2 = 15 070 408 814 983 603 + 0;
  • 15 070 408 814 983 603 : 2 = 7 535 204 407 491 801 + 1;
  • 7 535 204 407 491 801 : 2 = 3 767 602 203 745 900 + 1;
  • 3 767 602 203 745 900 : 2 = 1 883 801 101 872 950 + 0;
  • 1 883 801 101 872 950 : 2 = 941 900 550 936 475 + 0;
  • 941 900 550 936 475 : 2 = 470 950 275 468 237 + 1;
  • 470 950 275 468 237 : 2 = 235 475 137 734 118 + 1;
  • 235 475 137 734 118 : 2 = 117 737 568 867 059 + 0;
  • 117 737 568 867 059 : 2 = 58 868 784 433 529 + 1;
  • 58 868 784 433 529 : 2 = 29 434 392 216 764 + 1;
  • 29 434 392 216 764 : 2 = 14 717 196 108 382 + 0;
  • 14 717 196 108 382 : 2 = 7 358 598 054 191 + 0;
  • 7 358 598 054 191 : 2 = 3 679 299 027 095 + 1;
  • 3 679 299 027 095 : 2 = 1 839 649 513 547 + 1;
  • 1 839 649 513 547 : 2 = 919 824 756 773 + 1;
  • 919 824 756 773 : 2 = 459 912 378 386 + 1;
  • 459 912 378 386 : 2 = 229 956 189 193 + 0;
  • 229 956 189 193 : 2 = 114 978 094 596 + 1;
  • 114 978 094 596 : 2 = 57 489 047 298 + 0;
  • 57 489 047 298 : 2 = 28 744 523 649 + 0;
  • 28 744 523 649 : 2 = 14 372 261 824 + 1;
  • 14 372 261 824 : 2 = 7 186 130 912 + 0;
  • 7 186 130 912 : 2 = 3 593 065 456 + 0;
  • 3 593 065 456 : 2 = 1 796 532 728 + 0;
  • 1 796 532 728 : 2 = 898 266 364 + 0;
  • 898 266 364 : 2 = 449 133 182 + 0;
  • 449 133 182 : 2 = 224 566 591 + 0;
  • 224 566 591 : 2 = 112 283 295 + 1;
  • 112 283 295 : 2 = 56 141 647 + 1;
  • 56 141 647 : 2 = 28 070 823 + 1;
  • 28 070 823 : 2 = 14 035 411 + 1;
  • 14 035 411 : 2 = 7 017 705 + 1;
  • 7 017 705 : 2 = 3 508 852 + 1;
  • 3 508 852 : 2 = 1 754 426 + 0;
  • 1 754 426 : 2 = 877 213 + 0;
  • 877 213 : 2 = 438 606 + 1;
  • 438 606 : 2 = 219 303 + 0;
  • 219 303 : 2 = 109 651 + 1;
  • 109 651 : 2 = 54 825 + 1;
  • 54 825 : 2 = 27 412 + 1;
  • 27 412 : 2 = 13 706 + 0;
  • 13 706 : 2 = 6 853 + 0;
  • 6 853 : 2 = 3 426 + 1;
  • 3 426 : 2 = 1 713 + 0;
  • 1 713 : 2 = 856 + 1;
  • 856 : 2 = 428 + 0;
  • 428 : 2 = 214 + 0;
  • 214 : 2 = 107 + 0;
  • 107 : 2 = 53 + 1;
  • 53 : 2 = 26 + 1;
  • 26 : 2 = 13 + 0;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

123 456 789 012 345 678 921(10) =

110 1011 0001 0100 1110 1001 1111 1000 0001 0010 1111 0011 0110 0110 1100 0100 1001(2)


3. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 66 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


123 456 789 012 345 678 921(10) =

110 1011 0001 0100 1110 1001 1111 1000 0001 0010 1111 0011 0110 0110 1100 0100 1001(2) =

110 1011 0001 0100 1110 1001 1111 1000 0001 0010 1111 0011 0110 0110 1100 0100 1001(2) × 20 =

1,1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001 1011 0001 0010 01(2) × 266


4. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 66

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001 1011 0001 0010 01


5. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

66 + 2(11-1) - 1 =

(66 + 1 023)(10) =

1 089(10)


6. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 089 : 2 = 544 + 1;
  • 544 : 2 = 272 + 0;
  • 272 : 2 = 136 + 0;
  • 136 : 2 = 68 + 0;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

7. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1089(10) =

100 0100 0001(2)


8. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001 10 1100 0100 1001 =

1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001


9. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0100 0001

Mantisă (52 biți) =
1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001


Numărul zecimal 123 456 789 012 345 678 921 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0100 0001 - 1010 1100 0101 0011 1010 0111 1110 0000 0100 1011 1100 1101 1001

Distribuie

» Scriere 123 456 789 012 345 678 866 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100