12 894,389 999 999 999 413 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 12 894,389 999 999 999 413 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
12 894,389 999 999 999 413 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 12 894.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 12 894 : 2 = 6 447 + 0;
  • 6 447 : 2 = 3 223 + 1;
  • 3 223 : 2 = 1 611 + 1;
  • 1 611 : 2 = 805 + 1;
  • 805 : 2 = 402 + 1;
  • 402 : 2 = 201 + 0;
  • 201 : 2 = 100 + 1;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

12 894(10) =

11 0010 0101 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,389 999 999 999 413 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,389 999 999 999 413 7 × 2 = 0 + 0,779 999 999 998 827 4;
  • 2) 0,779 999 999 998 827 4 × 2 = 1 + 0,559 999 999 997 654 8;
  • 3) 0,559 999 999 997 654 8 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 309 6;
  • 4) 0,119 999 999 995 309 6 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 619 2;
  • 5) 0,239 999 999 990 619 2 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 238 4;
  • 6) 0,479 999 999 981 238 4 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 476 8;
  • 7) 0,959 999 999 962 476 8 × 2 = 1 + 0,919 999 999 924 953 6;
  • 8) 0,919 999 999 924 953 6 × 2 = 1 + 0,839 999 999 849 907 2;
  • 9) 0,839 999 999 849 907 2 × 2 = 1 + 0,679 999 999 699 814 4;
  • 10) 0,679 999 999 699 814 4 × 2 = 1 + 0,359 999 999 399 628 8;
  • 11) 0,359 999 999 399 628 8 × 2 = 0 + 0,719 999 998 799 257 6;
  • 12) 0,719 999 998 799 257 6 × 2 = 1 + 0,439 999 997 598 515 2;
  • 13) 0,439 999 997 598 515 2 × 2 = 0 + 0,879 999 995 197 030 4;
  • 14) 0,879 999 995 197 030 4 × 2 = 1 + 0,759 999 990 394 060 8;
  • 15) 0,759 999 990 394 060 8 × 2 = 1 + 0,519 999 980 788 121 6;
  • 16) 0,519 999 980 788 121 6 × 2 = 1 + 0,039 999 961 576 243 2;
  • 17) 0,039 999 961 576 243 2 × 2 = 0 + 0,079 999 923 152 486 4;
  • 18) 0,079 999 923 152 486 4 × 2 = 0 + 0,159 999 846 304 972 8;
  • 19) 0,159 999 846 304 972 8 × 2 = 0 + 0,319 999 692 609 945 6;
  • 20) 0,319 999 692 609 945 6 × 2 = 0 + 0,639 999 385 219 891 2;
  • 21) 0,639 999 385 219 891 2 × 2 = 1 + 0,279 998 770 439 782 4;
  • 22) 0,279 998 770 439 782 4 × 2 = 0 + 0,559 997 540 879 564 8;
  • 23) 0,559 997 540 879 564 8 × 2 = 1 + 0,119 995 081 759 129 6;
  • 24) 0,119 995 081 759 129 6 × 2 = 0 + 0,239 990 163 518 259 2;
  • 25) 0,239 990 163 518 259 2 × 2 = 0 + 0,479 980 327 036 518 4;
  • 26) 0,479 980 327 036 518 4 × 2 = 0 + 0,959 960 654 073 036 8;
  • 27) 0,959 960 654 073 036 8 × 2 = 1 + 0,919 921 308 146 073 6;
  • 28) 0,919 921 308 146 073 6 × 2 = 1 + 0,839 842 616 292 147 2;
  • 29) 0,839 842 616 292 147 2 × 2 = 1 + 0,679 685 232 584 294 4;
  • 30) 0,679 685 232 584 294 4 × 2 = 1 + 0,359 370 465 168 588 8;
  • 31) 0,359 370 465 168 588 8 × 2 = 0 + 0,718 740 930 337 177 6;
  • 32) 0,718 740 930 337 177 6 × 2 = 1 + 0,437 481 860 674 355 2;
  • 33) 0,437 481 860 674 355 2 × 2 = 0 + 0,874 963 721 348 710 4;
  • 34) 0,874 963 721 348 710 4 × 2 = 1 + 0,749 927 442 697 420 8;
  • 35) 0,749 927 442 697 420 8 × 2 = 1 + 0,499 854 885 394 841 6;
  • 36) 0,499 854 885 394 841 6 × 2 = 0 + 0,999 709 770 789 683 2;
  • 37) 0,999 709 770 789 683 2 × 2 = 1 + 0,999 419 541 579 366 4;
  • 38) 0,999 419 541 579 366 4 × 2 = 1 + 0,998 839 083 158 732 8;
  • 39) 0,998 839 083 158 732 8 × 2 = 1 + 0,997 678 166 317 465 6;
  • 40) 0,997 678 166 317 465 6 × 2 = 1 + 0,995 356 332 634 931 2;
  • 41) 0,995 356 332 634 931 2 × 2 = 1 + 0,990 712 665 269 862 4;
  • 42) 0,990 712 665 269 862 4 × 2 = 1 + 0,981 425 330 539 724 8;
  • 43) 0,981 425 330 539 724 8 × 2 = 1 + 0,962 850 661 079 449 6;
  • 44) 0,962 850 661 079 449 6 × 2 = 1 + 0,925 701 322 158 899 2;
  • 45) 0,925 701 322 158 899 2 × 2 = 1 + 0,851 402 644 317 798 4;
  • 46) 0,851 402 644 317 798 4 × 2 = 1 + 0,702 805 288 635 596 8;
  • 47) 0,702 805 288 635 596 8 × 2 = 1 + 0,405 610 577 271 193 6;
  • 48) 0,405 610 577 271 193 6 × 2 = 0 + 0,811 221 154 542 387 2;
  • 49) 0,811 221 154 542 387 2 × 2 = 1 + 0,622 442 309 084 774 4;
  • 50) 0,622 442 309 084 774 4 × 2 = 1 + 0,244 884 618 169 548 8;
  • 51) 0,244 884 618 169 548 8 × 2 = 0 + 0,489 769 236 339 097 6;
  • 52) 0,489 769 236 339 097 6 × 2 = 0 + 0,979 538 472 678 195 2;
  • 53) 0,979 538 472 678 195 2 × 2 = 1 + 0,959 076 945 356 390 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,389 999 999 999 413 7(10) =

0,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1110 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

12 894,389 999 999 999 413 7(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1110 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


12 894,389 999 999 999 413 7(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1110 1100 1(2) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1110 1100 1(2) × 20 =

1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 0110 01(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 0110 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 11 1111 1101 1001 =

1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal 12 894,389 999 999 999 413 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere 12 894,389 999 999 999 409 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100