12 894,389 999 999 999 417 774 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 12 894,389 999 999 999 417 774(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
12 894,389 999 999 999 417 774(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 12 894.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 12 894 : 2 = 6 447 + 0;
  • 6 447 : 2 = 3 223 + 1;
  • 3 223 : 2 = 1 611 + 1;
  • 1 611 : 2 = 805 + 1;
  • 805 : 2 = 402 + 1;
  • 402 : 2 = 201 + 0;
  • 201 : 2 = 100 + 1;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

12 894(10) =

11 0010 0101 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,389 999 999 999 417 774.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,389 999 999 999 417 774 × 2 = 0 + 0,779 999 999 998 835 548;
  • 2) 0,779 999 999 998 835 548 × 2 = 1 + 0,559 999 999 997 671 096;
  • 3) 0,559 999 999 997 671 096 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 342 192;
  • 4) 0,119 999 999 995 342 192 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 684 384;
  • 5) 0,239 999 999 990 684 384 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 368 768;
  • 6) 0,479 999 999 981 368 768 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 737 536;
  • 7) 0,959 999 999 962 737 536 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 475 072;
  • 8) 0,919 999 999 925 475 072 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 950 144;
  • 9) 0,839 999 999 850 950 144 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 900 288;
  • 10) 0,679 999 999 701 900 288 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 800 576;
  • 11) 0,359 999 999 403 800 576 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 601 152;
  • 12) 0,719 999 998 807 601 152 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 202 304;
  • 13) 0,439 999 997 615 202 304 × 2 = 0 + 0,879 999 995 230 404 608;
  • 14) 0,879 999 995 230 404 608 × 2 = 1 + 0,759 999 990 460 809 216;
  • 15) 0,759 999 990 460 809 216 × 2 = 1 + 0,519 999 980 921 618 432;
  • 16) 0,519 999 980 921 618 432 × 2 = 1 + 0,039 999 961 843 236 864;
  • 17) 0,039 999 961 843 236 864 × 2 = 0 + 0,079 999 923 686 473 728;
  • 18) 0,079 999 923 686 473 728 × 2 = 0 + 0,159 999 847 372 947 456;
  • 19) 0,159 999 847 372 947 456 × 2 = 0 + 0,319 999 694 745 894 912;
  • 20) 0,319 999 694 745 894 912 × 2 = 0 + 0,639 999 389 491 789 824;
  • 21) 0,639 999 389 491 789 824 × 2 = 1 + 0,279 998 778 983 579 648;
  • 22) 0,279 998 778 983 579 648 × 2 = 0 + 0,559 997 557 967 159 296;
  • 23) 0,559 997 557 967 159 296 × 2 = 1 + 0,119 995 115 934 318 592;
  • 24) 0,119 995 115 934 318 592 × 2 = 0 + 0,239 990 231 868 637 184;
  • 25) 0,239 990 231 868 637 184 × 2 = 0 + 0,479 980 463 737 274 368;
  • 26) 0,479 980 463 737 274 368 × 2 = 0 + 0,959 960 927 474 548 736;
  • 27) 0,959 960 927 474 548 736 × 2 = 1 + 0,919 921 854 949 097 472;
  • 28) 0,919 921 854 949 097 472 × 2 = 1 + 0,839 843 709 898 194 944;
  • 29) 0,839 843 709 898 194 944 × 2 = 1 + 0,679 687 419 796 389 888;
  • 30) 0,679 687 419 796 389 888 × 2 = 1 + 0,359 374 839 592 779 776;
  • 31) 0,359 374 839 592 779 776 × 2 = 0 + 0,718 749 679 185 559 552;
  • 32) 0,718 749 679 185 559 552 × 2 = 1 + 0,437 499 358 371 119 104;
  • 33) 0,437 499 358 371 119 104 × 2 = 0 + 0,874 998 716 742 238 208;
  • 34) 0,874 998 716 742 238 208 × 2 = 1 + 0,749 997 433 484 476 416;
  • 35) 0,749 997 433 484 476 416 × 2 = 1 + 0,499 994 866 968 952 832;
  • 36) 0,499 994 866 968 952 832 × 2 = 0 + 0,999 989 733 937 905 664;
  • 37) 0,999 989 733 937 905 664 × 2 = 1 + 0,999 979 467 875 811 328;
  • 38) 0,999 979 467 875 811 328 × 2 = 1 + 0,999 958 935 751 622 656;
  • 39) 0,999 958 935 751 622 656 × 2 = 1 + 0,999 917 871 503 245 312;
  • 40) 0,999 917 871 503 245 312 × 2 = 1 + 0,999 835 743 006 490 624;
  • 41) 0,999 835 743 006 490 624 × 2 = 1 + 0,999 671 486 012 981 248;
  • 42) 0,999 671 486 012 981 248 × 2 = 1 + 0,999 342 972 025 962 496;
  • 43) 0,999 342 972 025 962 496 × 2 = 1 + 0,998 685 944 051 924 992;
  • 44) 0,998 685 944 051 924 992 × 2 = 1 + 0,997 371 888 103 849 984;
  • 45) 0,997 371 888 103 849 984 × 2 = 1 + 0,994 743 776 207 699 968;
  • 46) 0,994 743 776 207 699 968 × 2 = 1 + 0,989 487 552 415 399 936;
  • 47) 0,989 487 552 415 399 936 × 2 = 1 + 0,978 975 104 830 799 872;
  • 48) 0,978 975 104 830 799 872 × 2 = 1 + 0,957 950 209 661 599 744;
  • 49) 0,957 950 209 661 599 744 × 2 = 1 + 0,915 900 419 323 199 488;
  • 50) 0,915 900 419 323 199 488 × 2 = 1 + 0,831 800 838 646 398 976;
  • 51) 0,831 800 838 646 398 976 × 2 = 1 + 0,663 601 677 292 797 952;
  • 52) 0,663 601 677 292 797 952 × 2 = 1 + 0,327 203 354 585 595 904;
  • 53) 0,327 203 354 585 595 904 × 2 = 0 + 0,654 406 709 171 191 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,389 999 999 999 417 774(10) =

0,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

12 894,389 999 999 999 417 774(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


12 894,389 999 999 999 417 774(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 0(2) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 0(2) × 20 =

1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1111 10(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1111 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 11 1111 1111 1110 =

1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal 12 894,389 999 999 999 417 774 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere 12 894,389 999 999 999 417 812 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100