12 894,389 999 999 999 417 884 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 12 894,389 999 999 999 417 884(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
12 894,389 999 999 999 417 884(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 12 894.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 12 894 : 2 = 6 447 + 0;
  • 6 447 : 2 = 3 223 + 1;
  • 3 223 : 2 = 1 611 + 1;
  • 1 611 : 2 = 805 + 1;
  • 805 : 2 = 402 + 1;
  • 402 : 2 = 201 + 0;
  • 201 : 2 = 100 + 1;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

12 894(10) =

11 0010 0101 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,389 999 999 999 417 884.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,389 999 999 999 417 884 × 2 = 0 + 0,779 999 999 998 835 768;
  • 2) 0,779 999 999 998 835 768 × 2 = 1 + 0,559 999 999 997 671 536;
  • 3) 0,559 999 999 997 671 536 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 072;
  • 4) 0,119 999 999 995 343 072 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 144;
  • 5) 0,239 999 999 990 686 144 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 372 288;
  • 6) 0,479 999 999 981 372 288 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 744 576;
  • 7) 0,959 999 999 962 744 576 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 489 152;
  • 8) 0,919 999 999 925 489 152 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 978 304;
  • 9) 0,839 999 999 850 978 304 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 956 608;
  • 10) 0,679 999 999 701 956 608 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 913 216;
  • 11) 0,359 999 999 403 913 216 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 826 432;
  • 12) 0,719 999 998 807 826 432 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 652 864;
  • 13) 0,439 999 997 615 652 864 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 305 728;
  • 14) 0,879 999 995 231 305 728 × 2 = 1 + 0,759 999 990 462 611 456;
  • 15) 0,759 999 990 462 611 456 × 2 = 1 + 0,519 999 980 925 222 912;
  • 16) 0,519 999 980 925 222 912 × 2 = 1 + 0,039 999 961 850 445 824;
  • 17) 0,039 999 961 850 445 824 × 2 = 0 + 0,079 999 923 700 891 648;
  • 18) 0,079 999 923 700 891 648 × 2 = 0 + 0,159 999 847 401 783 296;
  • 19) 0,159 999 847 401 783 296 × 2 = 0 + 0,319 999 694 803 566 592;
  • 20) 0,319 999 694 803 566 592 × 2 = 0 + 0,639 999 389 607 133 184;
  • 21) 0,639 999 389 607 133 184 × 2 = 1 + 0,279 998 779 214 266 368;
  • 22) 0,279 998 779 214 266 368 × 2 = 0 + 0,559 997 558 428 532 736;
  • 23) 0,559 997 558 428 532 736 × 2 = 1 + 0,119 995 116 857 065 472;
  • 24) 0,119 995 116 857 065 472 × 2 = 0 + 0,239 990 233 714 130 944;
  • 25) 0,239 990 233 714 130 944 × 2 = 0 + 0,479 980 467 428 261 888;
  • 26) 0,479 980 467 428 261 888 × 2 = 0 + 0,959 960 934 856 523 776;
  • 27) 0,959 960 934 856 523 776 × 2 = 1 + 0,919 921 869 713 047 552;
  • 28) 0,919 921 869 713 047 552 × 2 = 1 + 0,839 843 739 426 095 104;
  • 29) 0,839 843 739 426 095 104 × 2 = 1 + 0,679 687 478 852 190 208;
  • 30) 0,679 687 478 852 190 208 × 2 = 1 + 0,359 374 957 704 380 416;
  • 31) 0,359 374 957 704 380 416 × 2 = 0 + 0,718 749 915 408 760 832;
  • 32) 0,718 749 915 408 760 832 × 2 = 1 + 0,437 499 830 817 521 664;
  • 33) 0,437 499 830 817 521 664 × 2 = 0 + 0,874 999 661 635 043 328;
  • 34) 0,874 999 661 635 043 328 × 2 = 1 + 0,749 999 323 270 086 656;
  • 35) 0,749 999 323 270 086 656 × 2 = 1 + 0,499 998 646 540 173 312;
  • 36) 0,499 998 646 540 173 312 × 2 = 0 + 0,999 997 293 080 346 624;
  • 37) 0,999 997 293 080 346 624 × 2 = 1 + 0,999 994 586 160 693 248;
  • 38) 0,999 994 586 160 693 248 × 2 = 1 + 0,999 989 172 321 386 496;
  • 39) 0,999 989 172 321 386 496 × 2 = 1 + 0,999 978 344 642 772 992;
  • 40) 0,999 978 344 642 772 992 × 2 = 1 + 0,999 956 689 285 545 984;
  • 41) 0,999 956 689 285 545 984 × 2 = 1 + 0,999 913 378 571 091 968;
  • 42) 0,999 913 378 571 091 968 × 2 = 1 + 0,999 826 757 142 183 936;
  • 43) 0,999 826 757 142 183 936 × 2 = 1 + 0,999 653 514 284 367 872;
  • 44) 0,999 653 514 284 367 872 × 2 = 1 + 0,999 307 028 568 735 744;
  • 45) 0,999 307 028 568 735 744 × 2 = 1 + 0,998 614 057 137 471 488;
  • 46) 0,998 614 057 137 471 488 × 2 = 1 + 0,997 228 114 274 942 976;
  • 47) 0,997 228 114 274 942 976 × 2 = 1 + 0,994 456 228 549 885 952;
  • 48) 0,994 456 228 549 885 952 × 2 = 1 + 0,988 912 457 099 771 904;
  • 49) 0,988 912 457 099 771 904 × 2 = 1 + 0,977 824 914 199 543 808;
  • 50) 0,977 824 914 199 543 808 × 2 = 1 + 0,955 649 828 399 087 616;
  • 51) 0,955 649 828 399 087 616 × 2 = 1 + 0,911 299 656 798 175 232;
  • 52) 0,911 299 656 798 175 232 × 2 = 1 + 0,822 599 313 596 350 464;
  • 53) 0,822 599 313 596 350 464 × 2 = 1 + 0,645 198 627 192 700 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,389 999 999 999 417 884(10) =

0,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

12 894,389 999 999 999 417 884(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


12 894,389 999 999 999 417 884(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 1(2) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1111 11(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 11 1111 1111 1111 =

1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal 12 894,389 999 999 999 417 884 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere 12 894,389 999 999 999 417 835 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100