12 894,389 999 999 999 417 931 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 12 894,389 999 999 999 417 931 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
12 894,389 999 999 999 417 931 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 12 894.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 12 894 : 2 = 6 447 + 0;
  • 6 447 : 2 = 3 223 + 1;
  • 3 223 : 2 = 1 611 + 1;
  • 1 611 : 2 = 805 + 1;
  • 805 : 2 = 402 + 1;
  • 402 : 2 = 201 + 0;
  • 201 : 2 = 100 + 1;
  • 100 : 2 = 50 + 0;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

12 894(10) =

11 0010 0101 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,389 999 999 999 417 931 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,389 999 999 999 417 931 9 × 2 = 0 + 0,779 999 999 998 835 863 8;
  • 2) 0,779 999 999 998 835 863 8 × 2 = 1 + 0,559 999 999 997 671 727 6;
  • 3) 0,559 999 999 997 671 727 6 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 455 2;
  • 4) 0,119 999 999 995 343 455 2 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 910 4;
  • 5) 0,239 999 999 990 686 910 4 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 820 8;
  • 6) 0,479 999 999 981 373 820 8 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 747 641 6;
  • 7) 0,959 999 999 962 747 641 6 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 495 283 2;
  • 8) 0,919 999 999 925 495 283 2 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 990 566 4;
  • 9) 0,839 999 999 850 990 566 4 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 981 132 8;
  • 10) 0,679 999 999 701 981 132 8 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 962 265 6;
  • 11) 0,359 999 999 403 962 265 6 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 924 531 2;
  • 12) 0,719 999 998 807 924 531 2 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 849 062 4;
  • 13) 0,439 999 997 615 849 062 4 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 698 124 8;
  • 14) 0,879 999 995 231 698 124 8 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 396 249 6;
  • 15) 0,759 999 990 463 396 249 6 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 792 499 2;
  • 16) 0,519 999 980 926 792 499 2 × 2 = 1 + 0,039 999 961 853 584 998 4;
  • 17) 0,039 999 961 853 584 998 4 × 2 = 0 + 0,079 999 923 707 169 996 8;
  • 18) 0,079 999 923 707 169 996 8 × 2 = 0 + 0,159 999 847 414 339 993 6;
  • 19) 0,159 999 847 414 339 993 6 × 2 = 0 + 0,319 999 694 828 679 987 2;
  • 20) 0,319 999 694 828 679 987 2 × 2 = 0 + 0,639 999 389 657 359 974 4;
  • 21) 0,639 999 389 657 359 974 4 × 2 = 1 + 0,279 998 779 314 719 948 8;
  • 22) 0,279 998 779 314 719 948 8 × 2 = 0 + 0,559 997 558 629 439 897 6;
  • 23) 0,559 997 558 629 439 897 6 × 2 = 1 + 0,119 995 117 258 879 795 2;
  • 24) 0,119 995 117 258 879 795 2 × 2 = 0 + 0,239 990 234 517 759 590 4;
  • 25) 0,239 990 234 517 759 590 4 × 2 = 0 + 0,479 980 469 035 519 180 8;
  • 26) 0,479 980 469 035 519 180 8 × 2 = 0 + 0,959 960 938 071 038 361 6;
  • 27) 0,959 960 938 071 038 361 6 × 2 = 1 + 0,919 921 876 142 076 723 2;
  • 28) 0,919 921 876 142 076 723 2 × 2 = 1 + 0,839 843 752 284 153 446 4;
  • 29) 0,839 843 752 284 153 446 4 × 2 = 1 + 0,679 687 504 568 306 892 8;
  • 30) 0,679 687 504 568 306 892 8 × 2 = 1 + 0,359 375 009 136 613 785 6;
  • 31) 0,359 375 009 136 613 785 6 × 2 = 0 + 0,718 750 018 273 227 571 2;
  • 32) 0,718 750 018 273 227 571 2 × 2 = 1 + 0,437 500 036 546 455 142 4;
  • 33) 0,437 500 036 546 455 142 4 × 2 = 0 + 0,875 000 073 092 910 284 8;
  • 34) 0,875 000 073 092 910 284 8 × 2 = 1 + 0,750 000 146 185 820 569 6;
  • 35) 0,750 000 146 185 820 569 6 × 2 = 1 + 0,500 000 292 371 641 139 2;
  • 36) 0,500 000 292 371 641 139 2 × 2 = 1 + 0,000 000 584 743 282 278 4;
  • 37) 0,000 000 584 743 282 278 4 × 2 = 0 + 0,000 001 169 486 564 556 8;
  • 38) 0,000 001 169 486 564 556 8 × 2 = 0 + 0,000 002 338 973 129 113 6;
  • 39) 0,000 002 338 973 129 113 6 × 2 = 0 + 0,000 004 677 946 258 227 2;
  • 40) 0,000 004 677 946 258 227 2 × 2 = 0 + 0,000 009 355 892 516 454 4;
  • 41) 0,000 009 355 892 516 454 4 × 2 = 0 + 0,000 018 711 785 032 908 8;
  • 42) 0,000 018 711 785 032 908 8 × 2 = 0 + 0,000 037 423 570 065 817 6;
  • 43) 0,000 037 423 570 065 817 6 × 2 = 0 + 0,000 074 847 140 131 635 2;
  • 44) 0,000 074 847 140 131 635 2 × 2 = 0 + 0,000 149 694 280 263 270 4;
  • 45) 0,000 149 694 280 263 270 4 × 2 = 0 + 0,000 299 388 560 526 540 8;
  • 46) 0,000 299 388 560 526 540 8 × 2 = 0 + 0,000 598 777 121 053 081 6;
  • 47) 0,000 598 777 121 053 081 6 × 2 = 0 + 0,001 197 554 242 106 163 2;
  • 48) 0,001 197 554 242 106 163 2 × 2 = 0 + 0,002 395 108 484 212 326 4;
  • 49) 0,002 395 108 484 212 326 4 × 2 = 0 + 0,004 790 216 968 424 652 8;
  • 50) 0,004 790 216 968 424 652 8 × 2 = 0 + 0,009 580 433 936 849 305 6;
  • 51) 0,009 580 433 936 849 305 6 × 2 = 0 + 0,019 160 867 873 698 611 2;
  • 52) 0,019 160 867 873 698 611 2 × 2 = 0 + 0,038 321 735 747 397 222 4;
  • 53) 0,038 321 735 747 397 222 4 × 2 = 0 + 0,076 643 471 494 794 444 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,389 999 999 999 417 931 9(10) =

0,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

12 894,389 999 999 999 417 931 9(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


12 894,389 999 999 999 417 931 9(10) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0000 0(2) =

11 0010 0101 1110,0110 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 0000 00(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 00 0000 0000 0000 =

1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


Numărul zecimal 12 894,389 999 999 999 417 931 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 1001 0010 1111 0011 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000

Distribuie

» Scriere 12 894,389 999 999 999 417 933 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100