13,334 083 557 010 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 13,334 083 557 010 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
13,334 083 557 010 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 13.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

13(10) =

1101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,334 083 557 010 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,334 083 557 010 8 × 2 = 0 + 0,668 167 114 021 6;
  • 2) 0,668 167 114 021 6 × 2 = 1 + 0,336 334 228 043 2;
  • 3) 0,336 334 228 043 2 × 2 = 0 + 0,672 668 456 086 4;
  • 4) 0,672 668 456 086 4 × 2 = 1 + 0,345 336 912 172 8;
  • 5) 0,345 336 912 172 8 × 2 = 0 + 0,690 673 824 345 6;
  • 6) 0,690 673 824 345 6 × 2 = 1 + 0,381 347 648 691 2;
  • 7) 0,381 347 648 691 2 × 2 = 0 + 0,762 695 297 382 4;
  • 8) 0,762 695 297 382 4 × 2 = 1 + 0,525 390 594 764 8;
  • 9) 0,525 390 594 764 8 × 2 = 1 + 0,050 781 189 529 6;
  • 10) 0,050 781 189 529 6 × 2 = 0 + 0,101 562 379 059 2;
  • 11) 0,101 562 379 059 2 × 2 = 0 + 0,203 124 758 118 4;
  • 12) 0,203 124 758 118 4 × 2 = 0 + 0,406 249 516 236 8;
  • 13) 0,406 249 516 236 8 × 2 = 0 + 0,812 499 032 473 6;
  • 14) 0,812 499 032 473 6 × 2 = 1 + 0,624 998 064 947 2;
  • 15) 0,624 998 064 947 2 × 2 = 1 + 0,249 996 129 894 4;
  • 16) 0,249 996 129 894 4 × 2 = 0 + 0,499 992 259 788 8;
  • 17) 0,499 992 259 788 8 × 2 = 0 + 0,999 984 519 577 6;
  • 18) 0,999 984 519 577 6 × 2 = 1 + 0,999 969 039 155 2;
  • 19) 0,999 969 039 155 2 × 2 = 1 + 0,999 938 078 310 4;
  • 20) 0,999 938 078 310 4 × 2 = 1 + 0,999 876 156 620 8;
  • 21) 0,999 876 156 620 8 × 2 = 1 + 0,999 752 313 241 6;
  • 22) 0,999 752 313 241 6 × 2 = 1 + 0,999 504 626 483 2;
  • 23) 0,999 504 626 483 2 × 2 = 1 + 0,999 009 252 966 4;
  • 24) 0,999 009 252 966 4 × 2 = 1 + 0,998 018 505 932 8;
  • 25) 0,998 018 505 932 8 × 2 = 1 + 0,996 037 011 865 6;
  • 26) 0,996 037 011 865 6 × 2 = 1 + 0,992 074 023 731 2;
  • 27) 0,992 074 023 731 2 × 2 = 1 + 0,984 148 047 462 4;
  • 28) 0,984 148 047 462 4 × 2 = 1 + 0,968 296 094 924 8;
  • 29) 0,968 296 094 924 8 × 2 = 1 + 0,936 592 189 849 6;
  • 30) 0,936 592 189 849 6 × 2 = 1 + 0,873 184 379 699 2;
  • 31) 0,873 184 379 699 2 × 2 = 1 + 0,746 368 759 398 4;
  • 32) 0,746 368 759 398 4 × 2 = 1 + 0,492 737 518 796 8;
  • 33) 0,492 737 518 796 8 × 2 = 0 + 0,985 475 037 593 6;
  • 34) 0,985 475 037 593 6 × 2 = 1 + 0,970 950 075 187 2;
  • 35) 0,970 950 075 187 2 × 2 = 1 + 0,941 900 150 374 4;
  • 36) 0,941 900 150 374 4 × 2 = 1 + 0,883 800 300 748 8;
  • 37) 0,883 800 300 748 8 × 2 = 1 + 0,767 600 601 497 6;
  • 38) 0,767 600 601 497 6 × 2 = 1 + 0,535 201 202 995 2;
  • 39) 0,535 201 202 995 2 × 2 = 1 + 0,070 402 405 990 4;
  • 40) 0,070 402 405 990 4 × 2 = 0 + 0,140 804 811 980 8;
  • 41) 0,140 804 811 980 8 × 2 = 0 + 0,281 609 623 961 6;
  • 42) 0,281 609 623 961 6 × 2 = 0 + 0,563 219 247 923 2;
  • 43) 0,563 219 247 923 2 × 2 = 1 + 0,126 438 495 846 4;
  • 44) 0,126 438 495 846 4 × 2 = 0 + 0,252 876 991 692 8;
  • 45) 0,252 876 991 692 8 × 2 = 0 + 0,505 753 983 385 6;
  • 46) 0,505 753 983 385 6 × 2 = 1 + 0,011 507 966 771 2;
  • 47) 0,011 507 966 771 2 × 2 = 0 + 0,023 015 933 542 4;
  • 48) 0,023 015 933 542 4 × 2 = 0 + 0,046 031 867 084 8;
  • 49) 0,046 031 867 084 8 × 2 = 0 + 0,092 063 734 169 6;
  • 50) 0,092 063 734 169 6 × 2 = 0 + 0,184 127 468 339 2;
  • 51) 0,184 127 468 339 2 × 2 = 0 + 0,368 254 936 678 4;
  • 52) 0,368 254 936 678 4 × 2 = 0 + 0,736 509 873 356 8;
  • 53) 0,736 509 873 356 8 × 2 = 1 + 0,473 019 746 713 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,334 083 557 010 8(10) =

0,0101 0101 1000 0110 0111 1111 1111 1111 0111 1110 0010 0100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

13,334 083 557 010 8(10) =

1101,0101 0101 1000 0110 0111 1111 1111 1111 0111 1110 0010 0100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


13,334 083 557 010 8(10) =

1101,0101 0101 1000 0110 0111 1111 1111 1111 0111 1110 0010 0100 0000 1(2) =

1101,0101 0101 1000 0110 0111 1111 1111 1111 0111 1110 0010 0100 0000 1(2) × 20 =

1,1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000 0001(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000 0001 =

1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000


Numărul zecimal 13,334 083 557 010 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 1010 1010 1011 0000 1100 1111 1111 1111 1110 1111 1100 0100 1000

Distribuie

» Scriere 13,334 083 557 003 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100